资源描述：
《微积分在证明不等式中的应用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、。,牟第期总第!。期∀四川师院学报自然科学版∀#’微积分在证明不等式中的应用黄廷权不,汇‘。等式是数学中的一个重要科目它在数学的许多分支中有广泛应用证明不等式,。为是这个科目中较难且重要的一个方面本文介绍用微积分证明不等式的方法行文和阅读方便,对主要引用的微积分知识都作了简明的摘录。一、利用微分中值定理证明不等式,∃∋)不等式的证明中常常引用几个微分中值定理特别是%&二&(中值定理∗。,,%,。)。若厂∀在闭区间〔的上连续在开区间的内可导则至少存在一点毛+毛+乙使等式%’%.厂,∀一−∀二−尾∀,一∀∀成立。,,用。这个定理证明
2、不等式的要领是选择适当的函数由等式.∀出发利用不等式+毛+占导出所要证明的结果。,例工证明。∀工十、彩一二十/0∀∗等号仅在一。时成立)。‘证明作了!∀1一/0+‘+2/0,∋,。则对任一数《可正可负∀在正或负的闭区间〔。刘上引用乙叮3’%馆中值定理于函数’代乙∀4。上显然它是适合∃0&.%)&。中值足理的条件的∀‘有(一一厂∗一丈01∗。‘∀∀0∗之间其中毛介子二数与,‘所以当∗50时∋有。+屯+、∋从而。一6二∗(‘5∗因。毛5.∀、∋∗∋。‘“二。“,∗又当+。时由+毛+7从而一1∗(∀因。++又+7∀,,∋总结二者故对任一
3、二手。总有。52∗。。∗,又“.一十。故知当一。时成立等号如,。果对尸习附上一定的条件还可使对一些不等式的证明来得更妙些二,、’,%%,例设厂7∀一0当∀7时−劝存在且单减则对于。簇成占簇2石+十8恒有不等式本文生摊年艺月日收到四川师院学报一9月‘一一一子%2−,∀∀−%2,∀∀成立#,#。证当二。时显然结论中等号成立%,、,%,%%)%0()当50时−∀在〔0〕与叻2,〕上使用∃&&中值定理得等式··%1厂%一:0’工%%2,)%厂∀∀∀1−龟∀及沂,∀一−.∀∀1−愁∀。,%9%2式中+邑+蕊乃+毛+,又’9’,由题设可知−
4、毫∀+沂毫∀%%从而有−2,∀一丈,∀厂∀%2丈%即−∀,∀∀厂2,∀综合上述命题获证#,∗。,‘。∗。例如果;∗∀和&∗∀都是可微函数且当∀时<尸∗∀&∗∀则当∀时恒有∗一−%&∗一&%=−∀∀.∀∀)∗%,’∗’证由题设∀时>−∀>&∗∀‘∗,∗,∗〔%,∋∗%可知∀&∀∀0故&∀不减〔2/0∀即恒有&∀一&∀∀0‘,,9∀变绝对值不等式为二重不等式可得一&∗∀《厂∗∀&∗∀&尹一−’0从而两个不等式∗∀∗∀∀≅归、?#‘&’∗2−’∗0∀∀∀,,#二〔%当〔2/0∀时将同时成立,‘,兹先利用≅∀一“一−‘‘“〔“28∀作函数
5、中∗∀∀∀下’∗‘∗0,则中∗∀1&∀一−∀∀、%∋‘∗∗),%∗,‘于任一5故小∗∀一中%∀二小愁∀一%∀∀7因一5。又+七+故小幼∀0之故∀&Α∀一,Α∀一&·∀一,·∀乡。即><><&∗一&%∗一−%Β故∀∀∀−∀∀∀,∗∗∗,∗再利用Χ∀作函数劝∀1&∀2−∀类似可得−∀一−%∀∀一>&∗∀一&%∀<Δ∀,合/Δ∗一−%&∗一&%∀与∀故Ε−∀∀簇∀∀二、利用函数的增减性证明不等式∗,,∗,,∗Φ∋%∗)∗Φ,函数丁∀在必的上单增或单减∀如果对任意二点当镇+簇,时有下列不等式成立∗,∗)∗,∗Φ#子∀+厂∀或−∀5−∀∀)设可
6、微∗%,‘‘,增减性的判定函数−∀在〔的上的导数−习∀7或步∗∀簇7∀而在含于。,’。。,均内单增或单减∀#吟内的任意小区间上−,Γ∀不恒为零则.∗∀于〔利用上述定义和定理中的不等式可证明许多不等式。例,求证=Η“‘:+￡‘入:‘&:其中。+∗+合要‘9Ι徽积分在证明不等式中的应用‘Α一)‘·∗,&∗一‘3Φ‘。‘∗证设∀合Α,一‘’。尸‘,一乏一5。+∗+黑斋∀粤艺,−∗∀单增且厂0∀10,0+∗+时‘∗∀5尹0∀一7故当晋‘。)。。∗+)‘。∗‘&∗。即合应该指出这个不等式在弹道学中是有用的#∗’∗’∗%%。%∗∗,∗%例9设对一
7、切有厂∀5&∀且−∀1&∀证明当∗5时有厂∀5&∀而当+时有厂∗∀+&∗∀甲∗二厂∗一&∗证设∀∀∀甲‘∗二−‘∗一‘∗0则∀∀&∀5,即甲∗∀是增函数且甲%∀10故当∗5)时甲∗∀5甲)∀17即尹∗&∗∀5∀,当∗+。&时类似可得−∗∀+∗∀。)例9可作为定理引用利用归纳法不难推广到更一般的情形∗∗)。∗‘”’∗‘”’∗“∀%‘%,,,Η设尹∀与&∀可微次对一切有厂∀5&∀且−∀1&∀ϑ19⋯一∀,。则当∗5%时尹∗∀5&二∀∋而当∗+%时−∗∀+&∗∀三、利用函数的最大值和最小值证明不等式∗。,厂∀是函数厂∗∀在区间Α上的最大值
8、或最小值∀如果对一切彩Α有不等式∗∗。∗∗。厂∀镇厂∀或−∀异厂∀∀,,假如要证明印∗∀恒∀劝∗∀只要证厂∗∀1甲∗∀一小劝恒∀0即证厂∗∀具有非负的最小值即可。利用这种思想方法可发现和证明许多不等式#Γ。
