数值分析讲稿3_黑白).pdf

《数值分析讲稿3_黑白).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§4埃尔米特插值•问题的提出：不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况。•数学描述：设在节点axxLxb上，yfxj()j，01nmjjf()(0,1xj,,)Ln，要求插值多项式H()x，满足条件Hx()y,()Hxm(0,1j,,)Lnjjjj•求解的思想：这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过

2、2n+1的多项式HxH()()x，其形式为21n21nH()xaaxLax21nn0121如根据上面的条件来确定2n+2个系数，aa01,,,La21n显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。先求插值基函数j()x及j()(xjn0,1,,)L，共有个2n+2，每一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件0,jk,()xx()0,jkjkjk1,jk,()xx0,()(,jk0,1,L,n),jkjkjk于是满足Hermit

3、e插值条件的插值多项式H()xHx21n()可写成用插值基函数表示的形式nH21nj()xy[j()xmjj()].xj0由所要构造的基函数满足的条件，显然HxyHxmk(),(),(0,1,,)Ln有21nkknk21k。下面的()x()x问题就是求满足条件的基函数j及j。0,jk,()xx()0,jkjkjk•确定基函数：1,jk,可利用拉格朗日插值基函数lxj()。()xxLL()xxxx()()xx01jj1nlx()j()xxxxxx

4、LL()()()xxj01jjjj1jn2lx令jj()(xaxb)(),lx其中j()是拉格朗日插值基函数。由要构造的Hermite插值基函数条件有2ax()(axblx)()1,jjjjjaxlxalx()()[()2(axblx)()]0,jjjjjjjjjaxb12alx(),整理得jjj'alx2()0b12().xlxjjjjj由于()xx01LL()xxxxjj()1()xxnlx()j()xxxxxxxxLL()()()j01

5、jjjj1jn利用两端取对数再求导，得n1lxjj(),k0xxjkkjln(())ln(lxxx)...ln(xx)ln(xx)...ln(xx)ln(xx)...jj01j1nj0''lxj()()xx0111......lx()xxxxxxxxjj01j1n2()(xaxb)(),lxn1jj于是2axjj()12(xx)lxj().k0xxjkal2(),jjxkjbx12().lxjjj同

6、理，由于j()x在xiji()处函数值与导数值均为0，而jj()0x，故可设()0,()xxj(,0,1,,),knLjkjkjk2()(xcxxlx)().jjj'()()xxxxxxLL()()xx()1x01jj1n又由于，有lx()jjj()xxxxxxxxLL()()()j01jjjj1jn'2j()xclx()1.jjj即，c1故有2()(xxx)().lxjjj•Hermite插值多项式是唯一的用反证法，假设H21n()x及H21n

7、()x均满足Hermite插值条件，于是由()xHxHx()()21nn21有()xHxHx()()0kn21kn21k'''()xHxHxkkk21nn()21()0(0,1k,,)Ln在每个节点xk上均有二重根，即()x有2n+2重根。但()x是不高于2n+1次的多项式，故。()0x唯一性得证。•Hermite插值多项式余项：仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若f()x在内(,)ab的2n+2阶导数存在，则其插值余项(2n2)f()2R()xf()xHx()(),

8、x21nn1(2n2)!其中(,)ab且与x有关。1(1n)Rx()f()()xnn1(1n)!•三次Hermite插值：作为Hermite插值多项式的重要特例是n=1的情形。这时可取节点xk及xk1，插值多项式为Hx()，满足条件3H()xyH,()xy;33kkk1k1Hxm(