李铁成微积分讲义11.pdf

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1、引言2012-2013年秋季学期第1周学习材料（一）微积分所关心的问题――变化与运动；其核心问题――极限。在系统学习之前，我们首先浏览一下微积分中两个基本问题，从而建立一个宏观的感觉是极其有益的。0.1面面面积积积问问问题题题如何求以x轴、曲线y=x2及直线x=1所围曲边梯形A的面积S？2500年前的古希腊人用"切分"的方法计算区域的面积。如图，将[0;1]进行n等分，然后在A内做出相应的小矩形，则这些小矩形的面积和为n∑−1()n∑−1()21i1if=nnnni=0i=0当n越来越大时，这些小矩形的面积和越来越接近一数值，我们称此值为

2、A的面积，记作n∑−1()21iS=limn→+∞nni=0面积问题引出了微积分中一个分支――积分学。0.2切切切线线线问问问题题题考虑方程为y=f(x)的曲线。求它在点P(a;f(a))处的切线T满足的方程（关于切线确切的定义将在以后给出，目前你将它暂时理解为在P点接触曲线的直线，如图。）由于切线经过曲线上的点P，所以要写出直线T的方程，只要知道它的斜率m即可。如何求m?我们首先在曲线上取P附近一个点Q(x;f(x))，计算割线PQ的斜率mPQ，由图可见f(x)−f(a)mPQ=x−a想象点Q沿着曲线向点P运动（如图所示），则割线PQ的

3、斜率mPQ越来越接近于切线T的斜率m，即m=limmPQQ→P由于Q趋于P点时，有x趋于a，于是f(x)−f(a)m=limx→ax−a切线问题引出了微积分中一个分支――微分学，但这比积分学的发明完了2000年。微积分的思想主要归功于法国数学家Fermat(1601-1665)，并由英国数学家Newton(1642-1727)、德国数学家Leibniz(1646-1716)发展起来的。微积分中的两个分支（积分学与微分学）极其基本问题（面积与切线）表面上相去甚远，然而它们是密切相关的。正如以后将指出的，面积问题与切线问题在一定意义上互为逆问

4、题。Newton发明微积分是为了解释行星围绕太阳的运动，今天微积分被广泛用于计算卫星和航天器的轨道，预测人口规模的变化，计算物价的涨落，预报天气、计算人寿保险的贴率等等。1第1章实数与函数1符符符号号号R表示实数集合;∀表示“任取”或“任意给定”――Any;∃表示“存在”或“能够找到”――Exist;=:表示“定义”或“规定”;设>0，N∗(x;)=:{x∈R

5、0<

6、x−x

7、<}，称N∗(x;)为点x的一个空心邻域;0000设>0，N(x0;)=:{x∈R

8、

9、x−x0

10、<}，称N(x0;)为点x0的一个邻域。2实实实数数数

11、集集集的的的界界界与与与确确确界界界设E是实数集的一个非空子集。如果∃b∈R，使得∀x∈E，都要x≤b，则称b是E的一个上界，此时称集合E有上界;如果∃a∈R，使得∀x∈E，都要x≥a，则称a是E的一个下界，此时称集合E有下界;如果∃q∈E，使得∀x∈E，都要x≤q，则称q是E的最大值，此时记q=maxE;如果∃p∈E，使得∀x∈E，都要x≥p，则称p是E的最小值，此时记q=minE.易知，如果b是E的一个上界，b+1;b+2;···都是E的上界。问问问题题题:非空有上界集合E是否总有一个“最小的上界”？（“最小的上界”通常称为上确界）定

12、义（上确界）设E⊂R，E̸=∅.如果∃b∈R，使得(i)b是E的一个上界，即∀x∈E，都有x≤b；(ii)b是E的最小的上界，即∀~b~~b.则称b是E的上确界。注1上确界定义中（ii）等价于说：若^b是E的一个上界，则^b≥b.注2若b也是E的上确界，则由注1知b≥b;b≥b;因此b=b.故知，集合E的上确界如果存在，就必定唯一。记这个唯一的上确界为supE.(supremum)类似地可定义下确界。定义（下确界）设E⊂R，E̸=∅.如果∃a∈R，使得(i)a是E的一

13、个下界，即∀x∈E，都有x≥a；(ii)a是E的最大的下界，即∀a>a~，则a~不再是E的下界，也即∀a>a~，∃x~∈E，使得x<~a~.则称b是E的下确界。注1下确界定义中（ii）等价于说：若a^是E的一个下界，则a^≤a.注2集合E的下确界如果存在，就必定唯一。记这个唯一的上确界为infE.(inmum)2定理（确界的存在性）(1)若E⊂R，E̸=∅，且E有上界，则E有上确界；(2)若E⊂R，E̸=∅，且E有下界，则E有下确界。上述定理涉及到实数理论，在此略去证明。√√例设E={x∈R

14、x2<2}，则supE=2;infE=−2.

15、练习1.设E⊂R，E̸=∅.则E有上界⇔−E=:{−x

16、x∈E}有下界。2.设E⊂R，E̸=∅.则E有下确界⇔−E}有上确界，此时infE=−sup(−E)。3函函函数数数的的的基基基本本本概