资源描述：
《李铁成微积分讲义42.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章导数2012-2013年秋季学期第7周学习材料1导导导数数数的的的概概概念念念2导导导数数数的的的运运运算算算法法法则则则3高高高阶阶阶导导导数数数设I是开区间，函数f:I→R可导，则得到函数f′:I→R，称f′为f的一阶导函数；若函数f′:I→R仍可2导，则得到函数(f′)′:I→R，称(f′)′为f的二阶导函数，简记f′′或df.类似可定义dx2d3fd4fdnff′′′(),f(4)(),···,f(n)().dx3dx4dxn例1求sin(n)x和cos(n)x.解：()′πsinx=cosx=sinx+,2()()()′′′πππ2πsinx=sinx+=sinx++=sinx
2、+,2222···,()(n)nπsinx=sinx+.2同理()(n)nπcosx=cosx+.2例2(Leibniz高阶求导公式)设f和g具有n阶导数，则∑n(f·g)(n)=Ckf(k)g(n−k).nk=0sin(n)x和cos(n)x.证：用归纳法。当n=1时，(f·g)′=f′·g+f·g′.1假设n=m时，Leibniz公式成立，即∑m(f·g)(m)=Ckf(k)·g(m−k),mk=0则(f·g)(m+1)=∑mCk[f(k+1)·g(m−k)+f(k)·g(m+1−k)]k=0m=C0[f′·g(m)+f·g(m+1)]+C1[f′′·g(m−1)+f′·g(m)]+···
3、+Cm[f(m+1)·g+f(m)·g′]mmm=C0[f·g(m+1)+f′·g(m)]+C1[f′·g(m)+f′′·g(m−1)]+···+Cm[f(m)·g′+f(m+1)·g]mmm=C0f·g(m+1)+[C0+C1]f′·g(m)+···+[[Cm−1+Cm]f(m)·g′+Cmf(m+1)·gmmmmmm=C0f·g(m+1)+C1f′·g(m)+···+Cmf(m)·g′+Cm+1f(m+1)·gm+1m+1m+1m+1=∑m+1Ckf(k)·g(m+1−k),k=0m+1所以Leibniz公式对任意n∈Z+成立。例3求(x2·sinx)(20).解：(x2·sinx)(20
4、)=x2sin(20)x+C12xsin(19)x+C22sin(18)x2020()()()=x2sinx+20π+40xsinx+19π+380sinx+18π222=x2sinx−40xcosx−380sinx.4特特特殊殊殊的的的求求求导导导方方方法法法4.1取取取对对对数数数求求求导导导法法法例1求(ln
5、x
6、)′.解：lnx,当x>0时,ln
7、x
8、=ln(−x),当x<0时,故1,当x>0时,x(ln
9、x
10、)′=(−x)′1=,当x<0时,−xx=1,当x̸=0时.x例2乘除运算、乘方（开方）运算构成的函数，可先取绝对值，再取自然对数，然后求导。它的基本原理如下：设y=
11、f(x)，则y′(ln
12、y
13、)′=,y2√′′1x−2′从而y=y(ln
14、y
15、).如y=(3x−1)3，求y.1−x√1x−2解：对y=(3x−1)3取绝对值，再取自然对数得，1−x111ln
16、y
17、=ln
18、3x−1
19、+ln
20、x−2
21、−ln
22、1−x
23、,322求导得，y′13111−1111=+−=++,y33x−12x−221−x3x−12(x−2)2(1−x)所以√[]′1x−2111y=(3x−1)3++.1−x3x−12(x−2)2(1−x)显示表达：y=f(x),x=φ(t),用解析表达式描述函数的主要方式：参数式表达：y=ψ(t),隐示表达：
24、F(x,y)=0.下面我们讨论参数式表达函数的求导法和隐式表达函数的求导法。4.2参参参数数数式式式函函函数数数求求求导导导法法法设有参数方程式x=φ(t),t∈(α,β)y=ψ(t),其中∀t∈(α,β),φ′(t),ψ′(t)都存在。若∀t∈(α,β),φ′(t)̸=0，则（见下章）x=φ(t)是严格单调函数。于是t=φ−1(x),y=ψ(φ−1(x)),从而dy===[ψ(φ−1(x))]′dx⇐==ψ′(φ−1(x))[φ−1(x)]′（复合函数求导）⇐==ψ′(φ−1(x))1（反函数求导）φ′(φ−1(x))⇐==ψ′(t)1φ′(t)′ψ(t)⇐==φ′(t)dy===dt
25、.dxdt3若∀t∈(α,β),φ′′(t),ψ′′(t)也都存在，则dyd2yd()===dxdx2dxdyd(dx)===dtdxdt(′)′ψ(t)φ′(t)===φ′(t)′′′′′′ψ(t)φ(t)−ψ(t)φ(t)===[φ′(t)]3.例3将椭圆曲线x2y2+=1(a>0,b>0)a2b2写成参数方程x=acost,t∈[0,2π]y=bsint,√试求椭圆上过(3a,b)处的
