离散数学教学环和域.ppt

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1、欢迎进入第九章环和域§9.1陪集和拉格朗日定理一.陪集1.陪集定义设是群的子群,aH={a*h

2、hH}称为元素a所确定的子群的左陪集,a称为陪集的表示元素。Ha={h*a

3、hH}称为元素a所确定的子群的右陪集,例1.求出关于子群<{0,3},+6>的所有左陪集,右陪集解:令H={0,3},则左陪集:右陪集:0H={0,3}=3HH0={0,3}=H31H={1,4}=4HH1={1,4}=H42H={2,5}=5HH2={2,5}=H5从中可以看出：{0H,1H,2H}是G的一个划分

4、下一页一.陪集2.左陪集性质(所得结论对右陪集也平行成立)①定理17.设是的子群,a,bG则aH=bH或aH∩bH=Ф证:设faH∩bHh1，h2H，使f=a*h1=b*h2a=b*h2*h1-1bHxaH则h3H,x=a*h3=b*h2*h1-1*h3bHaHbH，同理bHaHaH=bH下一页一.陪集②定理18.子群H的任意左陪集的大小(基数)相等证:aG,a*h1,a*h2aHh1h2a*h1a*h2

5、aH

6、=

7、H

8、H的任意陪集大小相同下一页二.拉格朗日定理定理18

9、.有限群的任意子群的阶数可以除尽群的阶数证:aGaaHG=UaGaH由定理17，H的左陪集集合是G的一个划分又a,bG,

10、aH

11、=

12、bH

13、=

14、H

15、

16、G

17、/

18、H

19、是G的划分的块数,是个整数

20、H

21、可整除

22、G

23、下一页性质推论:1.质数阶的群没有非平凡子群,(<{e},*>,称为的平凡子群)2.有限群中的任何元素a的阶可整除

24、G

25、证:若aG的阶是r,则{e,aa2,a3,…,ar-1}是G的子群3.质数阶的群,一定是循环群证:设为质数阶群aG,ae由推论2知:a

26、的阶数可整除

27、G

28、,但是

29、G

30、为质数,所以a的阶数等于群的阶数,{a,a2,,ar}=G是循环群下一页二.拉格朗日定理二.拉格朗日定理阶关系2.左陪集等价关系①定义:设是群的子群,则H的左陪集集合是G的一个划分,由此划分导出的等价关系称为H的左陪集等价关系,左陪集等价关系记为定理：aba-1bH证:abbaHb=a*h,hHa-1bH下一页例1.试证奇数阶群所有元素之积等于么元证:设是一个群,e为么元,则在G中不存在这样的元素a：ae，a=a-1∵若a=a-1则a2=e

31、<{a,e},*>是的子群∵

32、{a,e}

33、=2由拉格朗日定理:2整除

34、G

35、，矛盾G={e,a1,a1-1,a2,a2-1,,an,an-1}，其中aiai-1e*a*a1-1**an*an-1=e下一页二.拉格朗日定理阶关系例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个是Klein四元群证:eeabceeabceeabceeabcaabceaaecbbbceabbceacceabccbae生成元为a由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2下一页例3例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个是Klein四元群证:eeabce

36、eabceeabceeabcaabceaaecbbceabbbceacceabccbae生成元为a由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2下一页同态与同余关系四.同态与同余关系1.同余关系定义:是一个代数系统,R是A上的等价关系,若R,RR，称R是A上的同余关系，此同余关系将A划分的等价类称为同余类例1：，在I上定义R:R

37、x

38、=

39、y

40、,问R是的同余关系否?解:1)自反性：xI,

41、x

42、=

43、x

44、R2)对称性：x,yI，若

45、>R则

46、x

47、=

48、y

49、R3)传递性：x,y,zI，若R,R

50、x

51、=

52、y

53、=

54、z

55、RR是一等价关系x1,y1,x2,y2I，若R,R，但R不一定成立例<1,-1>R,<2,2>R但<1+2,-1+2>RR不是同余关系下一页同余关系定理四.同态与同余关系2.同余关系可以诱导出一个同态映射定理:设,R是A上的同余关系,B={[a]

56、aA}是由R诱导的划分,则必存在同态映射f,使是的同

57、态像证:1)构造在B上运算*’定义[a],[b]B,[a]R*’[b]R=[a*b]R先证明此定义是合理的,即它确实是一个运算若[a1]R=[a2]R,[b1]R=[b2]R