2010届高三数学精品讲练：直线和圆的方程.doc

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1、2010届高三数学精品讲练：直线和圆的方程一、典型例题例1、已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程。分析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设Q（x0，4x0），M（m，0）∵Q，P，M共线∴kPQ=kPM∴解之得：∵x0>0，m>0∴x0-1>0∴令x0-1=t，则t>0≥40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立此

2、时Q（11，44），直线l：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：（1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）∠A平分线所在直线方程。分析：（1）∵kBC=5∴BC边上的高AD所在直线斜率k=∴AD所在直线方程y+1=(x-2)即x+5y+3=0（2）∵AB中点为（3，1），k

3、AB=2∴AB中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。∵kAC=-1，kAB=2∴∴k2+6k-1=0∴k=-3-（舍），k=-3+∴AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。例3、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），

4、圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。（1）法一：从数的角度若选用标准式：设圆心P（x，y），则由

5、PA

6、=

7、PB

8、得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2又2x0-y0-3=0两方程联立得：，

9、PA

10、=∴圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10若选用一般式：设

11、圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（）∴解之得：法二：从形的角度AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5）∴半径r=

12、PA

13、=显然，充分利用平几知识明显降低了计算量（1）设A关于直线x+2y=0的对称点为A’由已知AA’为圆的弦∴AA’对称轴x+2y=0过圆心设圆心P（-2a，a），半径为R则R=

14、PA

15、=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长，∴∴4(a+1)2+(a-3)2=2+∴a=-7或a=-3当a=-7时，R=；当a=-3时，R=∴所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(

16、x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。分析：（1）m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0∴（2）半径r=∵∴时，∴0

17、O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。分析：从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。连OQ，则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ得OQ∥AP同理，OA∥PQ又OA=OQ∴OAPQ为菱形∴

18、PA

19、=

20、OA

21、=2设P(x，y)，Q(x0，y0)，则又x02+y02=4∴x2+(y-2)2=4（x≠0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。同步练习（一）选择题1、若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则

22、实数m取值范围是A、-1

23、OP