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1、导数的概念及几何意义•、知识与方法1、导数的概念：函数/(x)在勺处导数的定义：i般地，函数y=f(x)在兀=无处的瞬时变化率是,我们称它为函数)=/(a)在x=x0处的导数，记作/(x0)或y1円。2、求y=f(x)在处的导数的步骤:(1)求函数的改变量Ay=/(x0+Ax)-/(x0)；(2)求平均变化率乞=/("+心)二/(儿)AxAx(3)取极限，得导数广(勺)=1吸詈。3、导数的几何意义：函数/(x)在点X。处的导数的几何意义，就是曲线)，=/(兀)在点P(x0/(x0))处的切线的斜率’即曲线y=/(x)
2、在点P(x0/(x0))处的切线的斜率是广(兀(J,相应地切线的方程是y-)，(产广(兀)(无-兀)。特另U提醒•(1)在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在
3、
4、1
5、线上也不一定只有一条；(2)在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在Illi线上时，此点处的切线的斜率才是广(心)o二、练习题1.一物体的运动方程是5=l-r+r2,其屮$的单位是米，f的单位是秒，那么物体
6、在/=3时的瞬时速度为o(答：5米/秒)x212.己知曲线y的一条切线的斜率为丄，则切点的横坐标为(A)42A.1B・2C・3D.43J(x)=ax3+3x2+2,若f(1)=0,则/©)的值等于(B)A.-2B.30C.-36D.323.曲线y=疋一2/一4兀+2在点(1,-3)处的切线方程是・5兀+)，-2=04.设曲线y=ax'在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平彳亍，则。=(A)11(A.1B.—C・D.—122Y+J1.设曲线y=——在点(3,2)处的切线与5［线ax+y+=0垂玄，则。=(D)
7、x-111cA.2B.—C.D・—2222.
8、山线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(B)A.30°B.45°C.60°D.120°3.己知函数y=/(x)的图象在点M(l,/⑴)处的切线方程是y=-x+2,则/(1)+广(1)=_34.已知a是实数，函数f(x)=xx-a).若/(1)=3,求a的值及曲线y=/(兀)在点(1J⑴)处的切线方程。解：./(x)=x~(x-a)=x3-ax2,.*./(x)=3x2-2ax,f(1)=3-2a=3’:.a-0,/./(%)=x3,/(l)=1,故曲线y
9、=/(x)在点(1,/(l))处的切线为y-l=3(x-l),即：y=3x-25.已知函数/、(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程是(A)A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3解析:由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8^f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,即2/(x)—/(2—x)=无？+4兀一4,・•・f(x)=x2.f/(x)=2x,・••切线方程y-l=2(x-l),即2x-y-l=0选A
10、6.设函数f(x)=ax3+bx+c(a^0)为奇函数,其图象在点(1J⑴)处的切线与直线—=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12・求函数子(兀)的解析式。解：V/(%)为奇函数，/./(-%)=-/(a)即一ax3-bx+c=-axy-bx-c/.c=0•・・fG)=Zax1+b的最小值为一12Aft=-12又直线x—6y—7=0的斜率为丄因此，广(l)=3a+b=—66/•a=2,b=-12,c=0.故/(x)=2x3—12x7.已知函数/(x)=x3+mx2-m2x+(加为常数，且加＞0)有极大值9.（1
11、）求加的值；（2）若斜率为-5的肓线是曲线y=/（x）的切线，求此胃线方程.解：(1)fXx)=3x2+2mx—m2=(x+ni)(3x~则x=—m或x=—m,当X变化时，/'(X)与./U)的变化情况如下表：X(_8,_加)—m1(―m,—m)31—m31(-m,+8)3广(X)+0——0+极大值极小值/从而可知，当x=—m时，函数几t)取得极大值9,即fl—m)=—w3+w3+w3+l=9,.*./n=2.(2)由(1)知，/(x)=x3+2x2—4x+1,依题意知厂(兀)=3#+4兀一4=—5,.x=—1或x
12、=——.又A—1)=6,/(——)=—，所以切线方程为y—6=—5(x+l),或y——=—5(x+—),327273即5x+y-l=0,或135x+27y—23=0.12.若曲线f(x)=ax2+x存在垂直于y轴的切线，贝U实数。的取值范围是.解析：由题意该函数的定义域x>0,由fx)=2ax+-.因为存在垂貞于y轴的切线,故此时斜率为o
