应注意由递推式确定的数列可以是有穷数列.pdf

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1、2014年第4期河北理科教学研究问题讨论应注意由递推式确定的数列可以是有穷数列北京市丰台二中甘志国100071题1(2005·福建·理·22(2))已知数余的项均不是一)．列{口}满足口：口，％+1=1+÷．我们知道《学数学~2013年第lO一12期合刊第当a取不同的值时，得到不同的数列．如当a132页第10题是一道高中数学竞赛训练题：1时，得到无穷数列：1，2，35⋯题目设数列{a}满足a川a+3a：，，，当口+a+4=O，若a∞。，是数列{a}的最小项，=一告时，得到有穷数列：一告，一1，0．设数求a的取值范围．该期《学数学》第135—36

2、页给出了该题列{b}满足b·：一1～b，=南(n∈的两种解法，答案均是(一琶，一笔)．N)，求证a取数列{b}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a}．笔者认为该题的答案是(一，一】题2(2010·上海春·23(3))已知首项U{一2}．原解答产生错误的原因就是没有注意本题中的数列{a}可以是有穷数列等为-的数列{}满足=，数列错误．{}由其首项，确定，通过对数列{}的完整解答：可将题设中的递推式等价变探究，写出“{}是有穷数列”的一个真命题形为下面两种形式：(不必证明)．(说明：将根据写出真命题所体a+1(a+3)=一a一4②现的思维层次和

3、对问题探究的完整性，给予(a+1+2)(a+2)=(a+2)一(a+1+2)不同的评分．)③由这两道高考题可以看出，由递推式(1)当a=一2时，由②及数学归纳法an+l：=_(口≠0Orad≠b’c，口，b，可证得a=一2(n∈N)，所以a。=一2满足题意．c，d∈C，C是复数集)①确定的数列{a}可(2)当a≠一2时，数列{a}的任一项以是有穷数列，我们在解题时，一定不能忽略(存在时)均不是一2(只需证明a+。≠一2(／1,了这种情形．∈N)：否则由③得a=一2，由此结论得定理由①确定的数列{a}是项数为m的有穷数列的充要条件是／"n∈N，使

4、a=一2，矛盾)．此时③即2一2=1口=一口+1+0+一a(且此时该数列除Urn=一詈外，其．16．2014年第4期河北理科教学研究问题讨论DH+2=一口1+2+。n仆一一11一的最大正整数时，口取最小值．所口1+一以由题意，~2o13<1一<2o14，即一口n-二_习一2④40254027一面<01<一丽‘i)看数列{0}中存在一项比如=一3，由定理知{口}是k项的有穷数列．当0<1一口1l哪+Z<1，n1+Z-0，在④中令n=后后，可得。-=一去一2，1一<0时，均可得口无最小值，所以再由④得口=n—一}—一了l一2(凡：1，2，⋯，此时不

5、满足题意．k)，且{口}是递减数列．综上所述，0的取值范围是因为口是数列{0}的最小项，所以kfI一一4202152，’一一42021731JU{l一2t．’=2013，得口。=一．笔者的专著《数列与不等式》(哈尔滨工ii)若数列{口}中没有项是一3，由定理业大学出版社，2014)第13—20页的文章《满知{口}是无穷数列(所以④中的1一足口川=}等的数列{口}何时为有穷数口1+N)．列、周期数列》给出了相关的结论，读者可以参阅．。当l—>1时，当且仅当n是小于哼．}_{·}_{·}_{·}_{·}一{·}寺}_{·}-{·}_{·}_{·}_

6、{·}_{·}_{·}_亏·}_{·}-{·}{．}_{·}_{·}_{·}_{·}·}_{·}_{·}_{·}斗}_{·}-{·}_{·}斗}_{·H·}_{·}_{·}_{·}一{·}_{·}-{·}-{·H．}(上接第12页)．当00)起到了化曲为直的作用(方程．．，曲线：口与n=m(>0)两边的函数图象均为曲Y=m。(>0)无公共点；当m=线，方程口詈：(>0)两边的函数图(。士)时，曲线y：口与)，=m(m>象分别为曲线与直线)．0)有一个公共点；当m>(口)a时，曲参考文献线Y=口与Y=m。(m>0)有两个

7、公共1罗增儒．2013年高考数学陕西卷压轴题讲解点．(续)[J]．中学数学教学参考(上旬)，2013(10)：34—37点评：口=(>0)转化为口言=·17·