由递推式求数列通项公式的重要方法归类

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1、经验交流XINKECHENGXUEXI由递推式求数列通项公式的重要方法归类☆张德涛数列问题一直以来都是高考的一个热n（n+1）的递推式，取倒数可变为41B11·…·3=（n≥3）。上式=+nn-1点问题，而利用递推关系求数列通项公式n-2n-322aAaAn+1n，若是解决数列问题的根本。它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量n（n+1）（n∈N）。对n=1，2也成立，所以na=2由题设有2，所以bb=4an+1nn+1=（n+2）（2bbn+n+1nA=B，则为等差数列；

2、若A≠B，则由方法四可构造等比数列。例：（2008年陕西）已知数列☆☆的首an考生数学素质的要素之一，因而经常渗透1）2，即bn（n+1）2bn+1·（n+2）2=1，n∈N。项3a=1，a=n+13an，n=1，2，…。求☆☆的an在高考和数学竞赛中。为此笔者结合自己在教学中的一些体会，用几个具体的例子令bn（n+1）x=n2，则，=1，即xxnn+1x=n+11x。5通项公式；2a+1n来说明由递推式求数列通项公式的方法。一、累加法利用a=aa-aa-a+（）+…+（）求通项+（）+…+（）求通项n121nn-1公式的

3、方法称为累加法。累加法可用来求形如a=afn+1n+（fn）（其中（n）可求和）的递推数列的通项公式。例：（2007年北京高考）数列☆☆中，aa=n12，+cn（c是常数，1，2，3，…），且a=an+1n，，aa12成公比不为1的等比数列。（1）求c的值；a3（2）求☆☆的通项公式。an解析：（1）=2，=2+c，=2+3c，因为aaa123，，成等比数列，所以（2+c）=2（2+3c），2aaa123由得，所以。=1=1n≥11nxx2=1，即bn（）n+1评注：本题先递推一步然后相减得到和的比值，符合累乘法的形式，用

4、累an的通项公式又如：。ana5aa··（），，=2n+1=3nn+1n1=2（n+an（）nn-1n-12na=3×2×5）×n三构造法、bn≥1。=（n+1）2，n≥1。nan+1乘法方便快捷的求出已知数列☆☆满足解析：∵a=n+1（11-1=∴∴a3n+112-1是以☆☆an3数列。∴1-1=an分子分母都有32，且an求数列☆☆的通项公式。（提示：an+1an1）n，求得·5对于形如（，为常数，，+BABA≠0n+1na=Aaa=n解得c=0或c=2。当c=2。c=0时，，不符合123a=a=a题意舍去，故（2）+

5、2n得a=an+1nn+1na-a=2nB≠0）的递推式，通过构造等比数列（+x）a=n+1A（+x）与原递推式对比得ax=nB，所以数列A-1（n≥2，n∈N），求数列的通项公3nan-12a+n+1n-1式（提示：条件变为。（），n1n-11-=1-∴a=aa-aa=2+[1+2+…++（）+…+（）-an121nn-1是以A为公比的等比数列。Ba+n☆☆an3an-1（n-1）2]·2=n-n+2。评注:本例具备+（fn）的形式,用a=an+1n累加法求和简单直观。对于形式不直观的需要转化为用累加法求通项。比如：已知

6、数A-1例1.已知数列☆☆中，=1，aaa+2a=1n1nn-1（n≥2），求☆☆的通项公式。an解析：利用（+x）=2-（+x），求得aann-1x=因此为一个等比数列，可求得n1-☆☆an（n≥1）。n11-n3a=n列☆☆满足anna=3a+2×3an+1n1+1，=3，求数列13，所以有a-n13=-2（a-n-113）是1∴an-☆☆3五、不动点法☆☆的通项公式。（提示：递推公式变为anan+1n+13首项为a-112=，公比为-2的等比数列，形如a=n（A，B，C，D为常数，Aa+Bn-1Ca+Dn-133A·

7、B·C≠0）的递推式，可先构造不动点方an-n3再用累加法求通项）21=+n+133二、累乘法求得（-2）2n-1na=+3程，求出不动点，。若xx12，则有x=x121=a-xn1利用恒等式（悉的等差或等比数列，实现了把未知的向·…aaann-12a=aa≠n1naaa已知的转化，是一种很重要，应用很广的一n-1n-210，n≥2）求通项公式的方法称为累乘法。用种方法。来求形如：·g（n）（其中g（n）可求前a推广：对于形如=an+（fn）（A≠0）的n+1n项积）的递推数列的通项公式的基本方法。递推式也可构造等比数列来

8、求通项公式a=Aa+p，其中，可记下来；若，可求得例：（2009年江西）各项均为正数的数列，4b=5时，求通项。an解析：由题意，由a+amn（）（）=1+a1+ann-1例：（2008年天津）在数列☆☆与。a例2.已知数列☆☆满足n，☆☆bnn中=1，=4，数列☆☆的前n项和满足aa=2a+3×5nn