由递推公式求通项公式的方法

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1、由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累加，变成，进而求解。例1.在数列中,解：依题意有逐项累加有，从而。注：在运用累

2、加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：已知满足,,求的通项公式。二、型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例2.已知数列中，求数列的通项公式。解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，，所以。注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：在数列中,>0,,求.提示：依题意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的

3、办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用作差法直接构造，,，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3.在数列中，，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有对比，得，于是得，即所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列则。解法2：由已知递推式，得，上述两式相减，得，即因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。变式练习：已知数列满足求数列的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四、型数列（p为常数）此类数

4、列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.例4已知数列满足,求.解:将已知递推式两边同除以得,设,故有，,从而.注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若为的一次函数,则加上关于的一次函数构成一个等比数列;若为的二次函数,则加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．已知数列满足解:作,则,代入已知递推式中得:.令这时且显然,,所以.注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.变式练习：（1）已

5、知满足，求。（2）已知数列，表示其前项和，若满足，求数列的通项公式。提示：（2）中利用，把已知条件转化成递推式。五、型数列（为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6．已知数列满足,求.解:两边取倒数得:,所以，故有。变式练习：数列中，，求的通项。六、型数列（为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7．数列中，且，求.