由递推关系式求数列通项公式

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1、由递推关系式求数列的通项公式-中学数学论文6/6由递推关系式求数列的通项公式-中学数学论文6/6由递推关系式求数列的通项公式王伯平（苏州外国语学校，江苏苏州215011）摘要：数列是高中数学的一个重点内容，也是现行江苏高考中经常必考的考点，往往出现在填空题和最后的压轴题中，综合性比较强。而数列通项公式的求解往往是解决问题的关键，本文主要介绍由递推关系式去求数列的通项公式的几种常用方法。关键词：递推关系式；数列；通项公式中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-09-0091-02类型1：an+1=an+f（n）

2、，其中f（n）可以求和。例1：已知数列an满足an+1=an+2n－1，a1=1，n∈N*，求数列an的通项公式．解：由an+1=an+2n－1得：an+1－an=2n－1，则a2－a1=1；a3－a2=3；a4－a3=5；……an－an－1=2n－3；（n≥2），相加得：an－a1=1+3+5+…+（2n－3）=（n－1）2，其中n≥2，所以当n≥2时，an=n2－2n+2；当n=1时，a1=1也满足上式。所以数列an的通项公式为an=n2－2n+2．分析：求形如an－an－1=f（n），（f（n）为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通

3、项，可用累加法，即令n=2,3,…,n－1得到n－1个式子累加求得通项．类型3：递推公式为an+1=pan+q（其中p,q均为常数，（pq(p-1)≠0））.例3：已知数列an满足:a1=1，an+1=2an+1，求数列an的通项公式．解：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），∴an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，∴an+1=2·2n－1，∴an=2n－16/6类型4：an+1=pan+f（n）例4：设数列an：a1=4,an=3an－1+2n－1,n≥2，求数列an的通项公式．解：设bn=an+An+B，则a

4、n=bn－An－B，将an,an－1代入递推式得：bn－An－B=3bn－1－A（n－1）－b+2n－1=3bn－1－（3A－2）n－（3B－3A+1）∴A=3A－2,B=3B－3A+1,∴A=1,B=1∴取bn=an+n+1，则bn=3bn－1，又b1=6，故bn=6×3n－1=2×3n∴an=2×3n－n－1分析：（1）本题只需构造数列bn，消去f（n）带来的差异．若f（n）为n的二次式，则可设bn=an+An2+Bn+C；（2）本题也可由an=3an－1+2n－1，an－1=3an－2+2（n－1）－1（n≥3）两式相减得：an－an－1

5、=3（an－1－an－2）+2转化为bn=pbn－1+q求之．类型5:an+1=pan+qn（其中p，q均为常数，(pq(p-1)(q-1)≠0）.（或an+1=pan+rqn,其中p，q,r均为常数）例5:已知数列an满足：an+1=2an+2n+1，a1=2，求数列an的通项公式．6/66/66/6