数列中由递推关系求数列的通项题型归类

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1、由递推关系求数列的通项题型归类高中数列是研究一列数之间的内在关系，说得通俗点就是数学游戏，关键是找规律，基础是等差数列与等比数列。通过某种转换，变成我们熟悉的数列—等差或等比，从而得出通项。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。★1　类型一：（其中d是常数）显然，由知｛｝是等差数列，则★2　类型二：（其中q是不为0的常数）显然，则知｛｝是等比数列，于是★3　类型三：，方法：叠加法例1、在数列｛｝中，，且，求.解：由得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………由上面等式叠加得，故。　　★4　类型四：，方法：叠乘法　　例2、在数列｛｝中

2、，，且，求.　　解：由已知得，，则有，，，……，，这（）个等式叠乘得，，则。　★　5　类型五：（其中p，q是常数，且）方法：参数法　　例3、已知数列｛｝满足，且，求.　解：引入参数c，令，即，与已知比较知c=1，于是有，即数列｛－1｝是以为首项，3为公比的等比数列，则，故　★　6　类型六：　　　（1）若（其中k,b是常数，且）方法：升降足标法　　例4、在数列｛｝中，，且满足，求.解：∵①，∴，两式相减得，，令，则，利用类型五的方法知，，即②，再利用类型三的方法知，；亦可联立①、②解出。　　（2）若（其中r是常数，且）　方法：两边同乘　　例5、在数列｛｝中，，且满足

3、，求.　　解：将已知的两边同乘，得，令，则，利用类型五的方法知，则。　　★7　类型七：（其中p，q是不为0的常数）　方法：倒数法　　例6、数列｛｝中，若，，求.解：∵，∴，即数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，则，即。　　变式：若类型七变为的结构时，仍可使用倒数法。　　例7、在数列｛｝中，若，，求.　　解：∵，∴，令，则，利用类型五知，，则。　★　8　类型八：（其中p，r为常数，且）方法：对数法　　例8、在数列｛｝中，若，，求.　　解：由，知，对两边取以3为底的对数得，，则数列｛｝是以为首项，2为公比的等比数列，则，，即。　★　9　类型九：（其中p，q为常数，且

4、）方法：转化法　　例9、数列｛｝中，若，，且满足，求.　　解：把变形为，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，则利用类型三的方法可得，。　　变式：若结构变为（其中p，q为常数，且满足）方法：待定系数法　　例10、已知数列｛｝满足，且，，求.　　解：令，即，与已知比较，则有　，故或下面我们取其中一组来运算（另一组同学们自己练习），即有，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，故，即，利用类型六（2）的方法，可得。　★　十　类型十：递推关系由与的关系给出　方法：运用互化解决　　例11、已知数列｛｝的前n项的和为，且满足，又，求.　　解：∵时，有，∴由，得即，亦即

5、，故数列｛｝是以为首项，2为公差的等差数列，∴，则　　故当时，　　显然上式对时不成立，则　　十一　其它类型　　例12、数列｛｝中，，，求.　　解：由知，，即有，故数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，从而，则　　评注：方法是配方法。例13、设数列｛｝是首项为1的正项数列，且满足，求.　　解：原递推式可以分解为由于，则有，故知，利用类型四的方法可解出。　　评注：方法是因式分解法。例14、已知数列｛｝中，，数列｛｝中，，且当时，，，求，.解：由于，两式相加得①再由两式相减得，这表明数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，则②联立①、②，解之得：，　　评注：方法是加减法。

6、　　例15、已知数列｛｝中，，，，（其中），求.　　解：由知，，再由知，，于是，则于是综上可知：当时，　　　　　当时，　　评注：方法是奇偶分类法。　　总之，由递推关系求数列的通项，核心是把所给递推式变形构造成等差或等比数列来解决。同学们应该熟练掌握上面归纳整理的这些常见的递推关系，以利于正确、快速地解决相关问题。