数学：数列中由递推关系求数列的通项题型归类

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1、数列中由递推关系求数列的通项题型归类新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算----猜想----证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。1　类型一：（其中d是常数）显然，由知｛｝是等差数列，则2　类型二：（其中q是不为0的常数）显然，则知｛｝是等比数列，于是3　类型三：，方法：叠加法例1、在数列｛｝中，，且，求.解：由得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2、　　　　　　　　　…………由上面等式叠加得，故。　　4　类型四：，方法：叠乘法　　例2、在数列｛｝中，，且，求.　　解：由已知得，，则有，，，……，，这（）个等式叠乘得，，则。-6-　　5　类型五：（其中p，q是常数，且）方法：参数法　　例3、已知数列｛｝满足，且，求.　解：引入参数c，令，即，与已知比较知c=1，于是有，即数列｛－1｝是以为首项，3为公比的等比数列，则，故　　6　类型六：　　　（1）若（其中k,b是常数，且）方法：升降足标法　　例4、在数列｛｝中，，且满足，求.解：∵①，∴，两式相减得，，令，则

3、，利用类型五的方法知，，即②，再利用类型三的方法知，；亦可联立①、②解出。　　（2）若（其中r是常数，且）　方法：两边同乘　　例5、在数列｛｝中，，且满足，求.　　解：将已知的两边同乘，得，令，则，利用类型五的方法知，则。　　7　类型七：（其中p，q是不为0的常数）　方法：倒数法　　例6、数列｛｝中，若，，求.-6-解：∵，∴，即数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，则，即。　　变式：若类型七变为的结构时，仍可使用倒数法。　　例7、在数列｛｝中，若，，求.　　解：∵，∴，令，则，利用类型五知，，则。　　8　类型八

4、：（其中p，r为常数，且）方法：对数法　　例8、在数列｛｝中，若，，求.　　解：由，知，对两边取以3为底的对数得，，则数列｛｝是以为首项，2为公比的等比数列，则，，即。　　9　类型九：（其中p，q为常数，且）方法：转化法　　例9、数列｛｝中，若，，且满足，求.　　解：把变形为，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，则利用类型三的方法可得，。　　变式：若结构变为（其中p，q为常数，且满足）方法：待定系数法-6-　　例10、已知数列｛｝满足，且，，求.　　解：令，即，与已知比较，则有　，故或下面我们取其中一组来运

5、算（另一组同学们自己练习），即有，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，故，即，利用类型六（2）的方法，可得。　　十　类型十：递推关系由与的关系给出　方法：运用互化解决　　例11、已知数列｛｝的前n项的和为，且满足，又，求.　　解：∵时，有，∴由，得即，亦即，故数列｛｝是以为首项，2为公差的等差数列，∴，则　　故当时，　　显然上式对时不成立，则-6-　　十一　其它类型　　例12、数列｛｝中，，，求.　　解：由知，，即有，故数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，从而，则　　评注：方法是配方法。例13、设数列｛｝

6、是首项为1的正项数列，且满足，求.　　解：原递推式可以分解为由于，则有，故知，利用类型四的方法可解出。　　评注：方法是因式分解法。例14、已知数列｛｝中，，数列｛｝中，，且当时，，，求，.解：由于，两式相加得①再由两式相减得，这表明数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，则②联立①、②，解之得：，　　评注：方法是加减法。　　例15、已知数列｛｝中，，，，（其中），求.　　解：由知，，再由知，，于是，则-6-于是综上可知：当时，　　　　　当时，　　评注：方法是奇偶分类法。　　总之，由递推关系求数列的通项，核心是把所给

7、递推式变形构造成等差或等比数列来解决。同学们应该熟练掌握上面归纳整理的这些常见的递推关系，以利于正确、快速地解决相关问题。-6-