高考数学递推数列求通项题型

高考数学递推数列求通项题型

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1、高考数学递推数列求通项题型分类归纳解析类型1解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足,,求。解:由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以,类型2解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足,,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,例3:已知,,求。解:。变式:(,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1,(n≥2),则{an}的通项解:由已知,得,用此式减去已知式,得当时,,即,又,,将以上n个式子相乘,得类型3(其中p,q均为常数,)。解法(

2、待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中,,,求.解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.变式:(,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_______________(key:)类型4(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q,r均为常数)。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。例5:已知数列中,,,求。解:在两边乘以得:令,则,解之得:所以类型5递推公式为(其中p,q均为

3、常数)。解(特征根法):对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。例6:数列:,,求解(特征根法):的特征方程是:。,。又由,于是故练习:已知数列中,,,,求。。变式:(,福建,文,22)已知数列满足求数列的通项公式;(I)解:  类型6递推公式为与的关系式。(或)解法:利用与消去或与消去进行求解。例7:数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公式.

4、解:(1)由得:于是所以.(2)应用类型4((其中p,q均为常数,))的方法,上式两边同乘以得:由.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以类型7解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。例8:已知数列{}中,,求数列解:由两边取对数得,令,则,再利用待定系数法解得:。类型8解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例9:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。解:取倒数:是等差数列,变式:(,江西,理,22)已知数列{an}满足:a1=,且an=求数列{an}的通项公式;解:(1)将条件变为:

5、1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³1)类型9周期型解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。例10:若数列满足,若,则的值为___________。变式:(,湖南,文,5)已知数列满足,则=()A.0B.C.D.

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