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1、高考递推数列通项公式的题型探究2008-9-28数列知识是高考考察的重点和热点,高考数列试题是以等差、等比数列知识为主干，经过几次变换构造成新的等差等比数列，下面就高考中常出现的几种数列类型做以简要探究。类型一：周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。例1:已知数列满足，，求。解:=－,从而1－,即数列是以3为周期的周期数列。又，,所以变形:数列满足,且,求.(联想函数的对称性与周期性).练习1:数列满足,且,求.练习2:数列满足,且,求.（联想函数的
2、周期性:）练习3:已知数列满足，求；类型二：形如的递推数列：可化为－,此时数列是以p为公比，为首项的等比数列，从而可求。11例2:已知数列满足，求数列的通项公式；解析：即是以为首项，2为公比的等比数列。即 练习1:数列满足,且,求.练习2:数列满足,且,求类型三：形如的递推数列,可用累加求和相消法求。例3:已知数列满足（）,(1)求；(2)证明：.解析：(1).(2)证明：,……将以上等式两边分别相加，并整理得:.练习1:数列满足,且,求练习2:数列满足,且,求练习3:在数列{}中，,，求通项公式.类型四：
3、形如的递推数列，可用累积相消法求。例4:已知数列满足,，求通项。解：;11;…两边相乘并整理得：练习1:数列满足,且,求练习2:数列满足,且,求练习3:设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）.（分解因式）练习4:已知数列中，求数列的通项公式。类型五：形如的递推数列，可用两边同除以得，令，则，仿照类型三求出之后，再求出.例5:设有数列:,＋，求.解：＋＋2,令，则，即是以2为公差，为首项的等差数列，故有，从而，即***数列满足,求解:构建数列为
4、等差数列.练习1:数列满足,且,求练习2:数列满足,且,求11注意:(的形式变化一定是为能构建基本数列服务的.)类型六：形如的递推数列，则其通项an的求法如下：（1）写出递推式所对应的特征方程；（2）解特征方程得到两个根；(3)如果，则可设；如果，则可设；（4）由初始值,求出或。例6:已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；解析：（I）证明：所对应的特征方程是令解得，，设（、）由得从而是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得练习1:数列满足,且,求练习2:数列满足,且
5、,求练习3:数列满足,且,求类型七：形如型的递归数列，可用对数代换法求。例7:设数列满足，求.解：由可知，所以两边取对数，得，令，则，化为，即是以2为公比，为首项的等比数列，从而有：即。练习1:数列满足,且,求练习2:数列满足,且,求11类型八：形如(,)型的通项公式的求法：(1)写出递推式所对应的特征方程；（2）解特征方程得到两个根；（3）如果，则数列｛｝是等比数列；如果x1=x2，则数列｛｝是等差数列；（4）由等比数列或等差数列的通项公式求例8:（08全国II卷理科）设数列的前项和为，且方程有一根为（I
6、）求（II）求的通项公式解析：由方程有一根为得a1=。即，，所对应的特征方程。令，解得是以为首项，－1为公差的等差数列，故，从而（I），（II）由得练习1:数列满足,且,求练习2:数列满足,且,求11类型九：递推关系形如的数列例9:已知数列满足：，求数列的通项公式解析：因为，显然既不是等比数列又不是等差数列若将递推关系进行适当的变形为：，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为、公比为，所以有从而有对一般情况：，如果不能直接转化变出来类似例1中的形式，也可以设变形后的形式为。展开后得到：。利用待定系数法可得：
7、再将x、y、z代入就可以得到最终的变式。练习1（09海南）:数列满足,且,⑴求证数列{}为等比数列，⑵求数列的前项和；类型十：递推关系形如的数列例10:已知数列满足：，求数列的通项公式解析：因为，显然既不是等比数列又不是等差数列若将递推关系进行适当的变形为：，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为、公比为，所以有从而有例11:已知数列满足：，求数列的通项公式11解析：本题的条件与例3类似，不同之处就是：例3中的系数是4与后面一项的底数2不相等，而本例中的系数是5与后面一项的底数5相等因为，显然既不是等比数列
8、又不是等差数列若将递推关系进行适当的变形为：，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为、公比为，所以有从而有对一般情况：，同样可以利用类型一和类型二的方式，用待定系数的方法得到变形式。纵观以上十种类型的处理过程实际就是构建等差等比数列的过程,所以熟练的掌握等差等比数列的性质是解决此类问题的核心,’待定系数法’是解决此类问题中的重要且有效办法.类型十一：取对数法例12:若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公
