2015年全国高考数学试题分类汇编§10.1椭圆及其性质.docx

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1、10.1椭圆及其性质考点一椭圆的定义和标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(　　)A.2B.3C.4D.9答案　B　5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若

2、PF1

3、=2+2,

4、PF2

5、=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若

6、PQ

7、=λ

8、PF1

9、,且34≤λ<43,试确定椭圆离心率e的取值范围.解析　(1)由椭圆的定义,2a=

10、PF1

11、+

12、PF2

13、=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.设

14、椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此2c=

15、F1F2

16、=

17、PF1

18、2+

19、PF2

20、2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)如图,由PF1⊥PQ,

21、PQ

22、=λ

23、PF1

24、,得

25、QF1

26、=

27、PF1

28、2+

29、PQ

30、2=1+λ2

31、PF1

32、.由椭圆的定义,

33、PF1

34、+

35、PF2

36、=2a,

37、QF1

38、+

39、QF2

40、=2a,进而

41、PF1

42、+

43、PQ

44、+

45、QF1

46、=4a.于是(1+λ+1+λ2)

47、PF1

48、=4a,解得

49、PF1

50、=4a1+λ+1+λ2,故

51、PF2

52、=2a-

53、PF1

54、=2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2.由勾股定

55、理得

56、PF1

57、2+

58、PF2

59、2=

60、F1F2

61、2=(2c)2=4c2,从而4a1+λ+1+λ22+2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ22=4c2,两边除以4a2,得4(1+λ+1+λ2)2+(λ+1+λ2-1)2(1+λ+1+λ2)2=e2.若记t=1+λ+1+λ2,则上式变成e2=4+(t-2)2t2=81t-142+12.由34≤λ<43,并注意到t=1+λ+1+λ2关于λ的单调性,得3≤t<4,即14<1t≤13.进而12b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.(1)求

62、直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,

63、PM

64、=λ

65、MQ

66、.(i)求λ的值;(ii)若

67、PM

68、sin∠BQP=759,求椭圆的方程.解析　(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程

69、联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.又因为λ=

70、PM

71、

72、MQ

73、,及xM=0,可得λ=

74、xM-xP

75、

76、xQ-xM

77、=

78、xP

79、

80、xQ

81、=78.(ii)由(i)有

82、PM

83、

84、MQ

85、=78,所以

86、PM

87、

88、PM

89、+

90、MQ

91、=77+8=715,即

92、PQ

93、=157

94、PM

95、.又因为

96、PM

97、sin∠BQP=759,所以

98、BP

99、=

100、PQ

101、sin∠BQP=157

102、PM

103、sin∠BQP=553.又因为yP=2xP+2c=-43c,所以

104、BP

105、=0+5c32+

106、2c+4c32=553c,因此553c=553,得c=1.所以,椭圆方程为x25+y24=1.考点二椭圆的性质1.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则

107、AB

108、=(　　)A.3B.6C.9D.12答案　B　2.(2015福建,11,5分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若

109、AF

110、+

111、BF

112、=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)A.0,32B.0,34C

113、.32,1D.34,1答案　A　5.(2015浙江,15,4分)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是　　　　. 答案　228.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足

114、BM

115、=2

116、MA

117、,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)