全国高考数学试题分类汇编：导数

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1、2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十三章《导数》一、选择题（共6题）1．（安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A．B．C．D．解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A2．（江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（C）A．f（0）＋f（2）<2f（1）B.f（0）＋f（2）£2f（1）C.f（0）＋f（2）³2f（1）D.f（0）＋f（2）>2f（1）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解：依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函

2、数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C聞創沟燴鐺險爱氇谴净。3．（全国II）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（A）（B）（C）（D）解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确。选D4.（四川卷）曲线在点处的切线方程是（A）（B）（C）（D）解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D

3、.5.（天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。6.（浙江卷）在区间上的最大值是(A)-2(B)0(C)2(D)4解：，令可得x＝0或2（2舍去），当－1£x<0时，>0，当0

4、7.（福建卷）已知直线与抛物线相切，则解析：直线与抛物线相切，将y=x－1代入抛物线方程得，∴，a=。8.（湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r，彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子：謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。式可以用语言叙述为：。解：V球＝，又故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”厦礴恳蹒骈時盡继價骚。9.（湖南卷）曲

5、线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。三、解答题（共31题）10．（安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明其中和均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。证明（Ⅰ）令，则，∵，∴。（Ⅱ）①令，∵，∴，则。假设时，，则，而，∴，即成立。②令，∵，∴，假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。（Ⅲ）当时，，令，得；当时，，

6、∴是单调递减函数；当时，，∴是单调递增函数；所以当时，函数在内取得极小值，极小值为11.（安徽卷）设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值。解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。12．（北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.解析：解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上,在(1,2)上,

7、在上,故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(Ⅱ)由得解得解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设又所以由,即得,所以.13．（福建卷）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、

8、解决问题的能力。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与