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《线性代数 教学课件 作者 董永胜 陈元婕 第1章行列式.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数编制：董永胜电子教案9/9/20211目录第1章行列式第2章矩阵第3章线性方程组第4章矩阵对角化与二次型9/9/20212第1章行列式行列式在线性代数学中占有重要的地位,它不仅是研究矩阵理论和线性方程组的求解理论的重要工具,而且在工程技术领域中也有着极其广泛的应用.正确理解行列式的基本概念，熟练掌握计算n阶行列式的基本方法，会对今后的课程内容学习带来很大方便．9/9/202131.1n阶行列式的定义1.1.1二阶、三阶行列式1.二阶行列式对于二元线性方程组（1.1-1）采用加减消元法从方程组里消去一
2、个未知数求得解:（1.1-2）其中分母a11a22－a21a12≠0.在(1.1-2)式中的两个等式右端的分母是相等的,我们把分母引进一个记号，记（1.1-3）9/9/20214在(1.1-2)式中的两个等式右端的分母是相等的,我们把分母引进一个记号，记（1.1-3）（1.1-3）式左端称为二阶行列式(2-thdeterminant),记为而（1.1-3）式右端称为二阶行列式的展开式.对于二阶行列式D,我们也称为方程组（1.1-1）的系数行列式(determinantofcoefficients).若用二阶
3、行列式记方程组的解（1.1-2）式可写成9/9/202152.三阶行列式类似于二阶行列式的讨论,对式（1.1-4）左边称为三阶行列式（3-thdeterminant）,通常记Δ为.在Δ中,横的称为行(row),纵的称为列(column)其中aij是数，称它为此行列式的第i行第j列的元素.式(1.1-4)的右边称为三阶行列式的展开式,利用二阶行列式可以把展开式写成:因此有(1.1-5)9/9/20216若记则有(1.1-6)其中称为元素Δ中划去元素的二阶行列式.的代数余子式(algebraiccompleme
4、ntminor)的余子式(complementminor),它是所在的行、列后所余下的元素按原位置组成称为元素9/9/20217(1.1-5)式为我们给出了一种计算三阶行列式的方法,(1.1-6)式给出三阶行列式的一种定义方式.三阶行列式也可用对角线法则计算,如图1.1.1.引进了三阶行列式,方程组（1-4）的解就可写成:(1-8)其中(j=1,2,3)是将Δ的第j列换成常数列而得到的三阶行列式。9/9/20218例1计算三阶行列式解例2解方程组解利用(1.1-8)式来求解方程组.9/9/20219所以9/
5、9/2021101.1.2n阶行列式1.定义1.1.1:由n2个数排成n行n列的式称为n阶行列式（n-thdeterminant）,它等于由其展开式运算所得到的数,即其中称为元素的代数余子式,称为元素的余子式,它是n阶行列式(1.1-7)中划去元素所在行、列后余下的阶行列式.(1.1-7)(1.1-8)9/9/2021112.定义1.1.2:把称为元素的代数余子式,称为称为元素的余子式它是n阶行列式(1.1-7)中划去元素所在第i行第列j后余下的n-1阶行列式,即n阶行列式一般可用D或Dn表示,当n=1时称
6、为一阶行列式,规定一阶行列式
7、a
8、的值等于a.9/9/202112例3计算四阶行列式解:由(1.1-8)式有9/9/2021133.几种特殊行列式(1)对角行列式(2)三角行列式:上三角行列式9/9/202114下三角行列式用递归的方法,可将n阶行列式的定义(1.1-8)式写成由于三阶行列式又展开成4.n阶行列式定义(1.1-8)式的等价形式(1.1-8)9/9/202115小结:本节由二、三元线性方程组引出了二阶行列式和三阶行列式,并给出了计算的方法，从而定义了n阶行列式,并介绍了几种特殊行列式.要求掌握
9、n阶行列式定义,会用其定义求行列式的值.9/9/2021161.2n阶行列式的性质1.2.1n阶行列式的基本性质定义1.2.1：将行列式D的行列位置互换后所得的行列式称为D的转置行列式(transposeddeterminant)，记为DT,即若,则性质1：行列式D与它的转置行列式DT值相等，即D=DT.证用数学归纳法.对1阶行列式结论显然正确.假设对任意n－1阶行列式结论正确,现证明结论对n阶行列式也正确.由式(1.1-8)可有9/9/202117由于是n－1阶行列式,按归纳法假设有于是性质2:行列式中任
10、意两行（列）互换后,行列式的值仅改变符号.证:用数学归纳法.对2阶行列式结论显然正确.假设对任意n－1阶行列式结论正确.由n阶行列式定义的(1.1-7)式可知结论对n阶行列式也正确.推论:若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式值等于零.9/9/202118性质3：以数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，就等于用k去乘此行列式,即或者说，若行列式的某一行（列）中所有元素有公因子，则可将公因子提取到行列式记号外
