线性代数 教学课件 作者 董永胜 陈元婕 第4章方阵对角化与二次型.ppt

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1、第四章矩阵的对角化与二次型绪言4.1预备知识4.2矩阵的特征值与特征向量4.3方阵的对角化4.4二次型及其标准形4.5正定二次型4.6本章小结2021/9/201第4章矩阵的对角化与二次型将一个方阵化为对角矩阵称为方阵对角化,它是指方阵与对角阵相似问题,但并不是任何一方阵都可以对角化,它与方阵的特征值及特征向量有着密切的关系。而二次型化为标准形的问题就是指对称方阵与对角阵合同的问题,它们在求解常系数线性微分方程组、线性规划等问题中都有广泛的应用。本章主要介绍方阵的特征值、方阵的对角化、二次型化标准

2、型及正定二次型的判定方法。2021/9/2024.1预备知识4.1.1向量的内积定义4.1.1:设两个n维向量把a1b1+a2b2+…+anbn=αTβ称为向量α与β的内积(innerproduct),记作(α,β)。即(α,β)=a1b1+a2b2+…+anbn=αTβ。2021/9/203内积是向量的一种运算,它满足下面的运算律(其中α,β,γ为n维向量,λ为实数):(1)(α,β)=(β,α);(2)(λα,β)=λ(α,β);(3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)(4)(α,α)≥0

3、,当且仅当α=0时,(α,α)=0。4.1.2向量的长度与夹角定义4.1.2:把非负实数称为n维向量α的长度(leng-th)(或范数(norm)),记作

4、

5、α

6、

7、,即设α=(a1,a2,…,an),则2021/9/204向量的长度具有下列性质:(1)非负性:

8、

9、α

10、

11、≥0,当且仅当α=0时

12、

13、α

14、

15、=0;(2)齐次性:

16、

17、λα

18、

19、=

20、λ

21、

22、

23、α

24、

25、;(3)三角不等式:

26、

27、α+β

28、

29、≤

30、

31、α

32、

33、+

34、

35、β

36、

37、。当

38、

39、α

40、

41、=1时,称α为单位向量。对任何一个非零向量α,就是一个单位向量,把一个非零向量

42、α化为单位向量就称为把向量α标准化。定义4.1.3:设α,β是两个非零向量,它们的夹角为θ,规定(0≤θ≤π)。2021/9/2054.1.3正交向量组定义4.1.4:设n维向量α与β,如果(α,β)=0.则称α与β正交(orthogonal),记为α⊥β.设α1,α2,…,αm是一组非零向量组,如果它们两两正交,则称为正交向量组(orthogonalvectorgroup).定理4.1.1:如果n维向量α1,α2,…,αm是一组两两正交的非零向量,那么α1,α2,…,αm线性无关.证设有一组数k

43、1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0用α1,α2,…,αm依次对上式作内积,可得m个等式(αi,k1α1+k2α2+…+kmαm)=0(i=1,2,…,m)根据向量的正交性知(αi,αj)=0,(i≠j),再根据内积的性质,所以(kiαi,αi)=0,又(αi,αi)≠0,故ki=0(i=1,2,…,m),这就证明了n维向量组α1,α2,…,αm线性关。2021/9/206如果向量组α1,α2,…,αm线性无关,则它不一定是正交向量组,但是我们可以用施密特正交化方法(Sch

44、midt’sorthog-onalization)将它化为正交向量组。施密特正交化方法:设n维向量组α1,α2,…,αm线性无关,取……则向量组就是一个正交向量组。再将其标准化:则向量组就是一个标准正交向量组。2021/9/207例1把向量组正交化,标准化。解:先用施密特正交化方法把向量组正交化,取再进行标准化:故得标准正交向量组2021/9/2084.1.4正交矩阵定义4.1.5:如果n阶方阵P满足PTP=PPT=E(4-1)那么就称P为正交矩阵(orthogonalmatrix)。如果定义中的

45、P表示成列向量那么由(4-1)式就有于是得n2个关系式(i,j=1,2,…,n).这说明:方阵P为正交矩阵的充分必要条件是P的列向量都是单位向量,且两两正交。2021/9/209正交矩阵具有以下性质:(1)P为正交矩阵的充分必要条件是PT=P-1。(2)两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。(3)正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。(4)正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。(5)正交矩阵P的行列式detP=1或-1。定义4.1.6:若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换(orthogonaltransfo

46、rmation)。正交变换可以保持向量长度不变.这是因为这正是正交变换的优良特性。例如:当变换y=Px是正交变换。2021/9/2010例2验证矩阵是正交矩阵。解:因为根据定义,所以P是正交矩阵。2021/9/20114.2矩阵的特征值与特征向量4.2.1特征值与特征向量的概念定义4.2.1:设A是n阶方阵,如果存在数λ和n维非零列向量X使关系式(4-2)成立,那么就称数λ为方阵A的特征值(characteristicvalue),非零向量X称为方阵A对应于特征值λ的特征向量(ch

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