线性代数 教学课件 作者 董永胜 陈元婕 第4章方阵对角化与二次型.ppt

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1、第四章矩阵的对角化与二次型绪言4.1预备知识4.2矩阵的特征值与特征向量4.3方阵的对角化4.4二次型及其标准形4.5正定二次型4.6本章小结2021/9/201第4章矩阵的对角化与二次型将一个方阵化为对角矩阵称为方阵对角化,它是指方阵与对角阵相似问题,但并不是任何一方阵都可以对角化，它与方阵的特征值及特征向量有着密切的关系。而二次型化为标准形的问题就是指对称方阵与对角阵合同的问题，它们在求解常系数线性微分方程组、线性规划等问题中都有广泛的应用。本章主要介绍方阵的特征值、方阵的对角化、二次型化标准

2、型及正定二次型的判定方法。2021/9/2024.1预备知识4.1.1向量的内积定义4.1.1:设两个n维向量把a1b1+a2b2+…+anbn=αTβ称为向量α与β的内积（innerproduct）,记作(α,β)。即(α，β)=a1b1+a2b2+…+anbn=αTβ。2021/9/203内积是向量的一种运算，它满足下面的运算律（其中α,β，γ为n维向量，λ为实数）：（1）（α,β）=（β,α）；（2）（λα,β）=λ(α,β）；（3）（α+β,γ）=（α,γ）+（β,γ）（4）（α,α）≥0

3、，当且仅当α=0时,（α,α）=0。4.1.2向量的长度与夹角定义4.1.2：把非负实数称为n维向量α的长度（leng-th）（或范数（norm）），记作

4、

5、α

6、

7、，即设α=（a1，a2，…，an），则2021/9/204向量的长度具有下列性质：（1）非负性：

8、

9、α

10、

11、≥0，当且仅当α=0时

12、

13、α

14、

15、=0；（2）齐次性：

16、

17、λα

18、

19、=

20、λ

21、

22、

23、α

24、

25、；（3）三角不等式：

26、

27、α+β

28、

29、≤

30、

31、α

32、

33、+

34、

35、β

36、

37、。当

38、

39、α

40、

41、=1时，称α为单位向量。对任何一个非零向量α，就是一个单位向量，把一个非零向量

42、α化为单位向量就称为把向量α标准化。定义4.1.3：设α,β是两个非零向量,它们的夹角为θ,规定（0≤θ≤π）。2021/9/2054.1.3正交向量组定义4.1.4:设n维向量α与β,如果(α,β)=0.则称α与β正交(orthogonal),记为α⊥β.设α1,α2,…,αm是一组非零向量组,如果它们两两正交,则称为正交向量组(orthogonalvectorgroup).定理4.1.1:如果n维向量α1,α2,…,αm是一组两两正交的非零向量,那么α1,α2,…,αm线性无关.证设有一组数k

43、1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0用α1,α2,…,αm依次对上式作内积,可得m个等式(αi，k1α1+k2α2+…+kmαm)=0（i=1，2，…，m）根据向量的正交性知（αi,αj）=0,(i≠j),再根据内积的性质，所以(kiαi,αi)=0,又（αi,αi)≠0,故ki=0(i=1,2,…,m),这就证明了n维向量组α1,α2,…,αm线性关。2021/9/206如果向量组α1,α2,…,αm线性无关，则它不一定是正交向量组，但是我们可以用施密特正交化方法（Sch

44、midt’sorthog-onalization）将它化为正交向量组。施密特正交化方法：设n维向量组α1,α2,…,αm线性无关，取……则向量组就是一个正交向量组。再将其标准化：则向量组就是一个标准正交向量组。2021/9/207例1把向量组正交化，标准化。解：先用施密特正交化方法把向量组正交化，取再进行标准化:故得标准正交向量组2021/9/2084.1.4正交矩阵定义4.1.5：如果n阶方阵P满足PTP=PPT=E（4-1）那么就称P为正交矩阵(orthogonalmatrix)。如果定义中的

45、P表示成列向量那么由（4-1）式就有于是得n2个关系式（i,j=1,2,…,n).这说明：方阵P为正交矩阵的充分必要条件是P的列向量都是单位向量，且两两正交。2021/9/209正交矩阵具有以下性质：（1）P为正交矩阵的充分必要条件是PT=P-1。（2）两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。（3）正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。（4）正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。（5）正交矩阵P的行列式detP=1或-1。定义4.1.6：若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换(orthogonaltransfo

46、rmation)。正交变换可以保持向量长度不变.这是因为这正是正交变换的优良特性。例如:当变换y=Px是正交变换。2021/9/2010例2验证矩阵是正交矩阵。解：因为根据定义，所以P是正交矩阵。2021/9/20114.2矩阵的特征值与特征向量4.2.1特征值与特征向量的概念定义4.2.1：设A是n阶方阵,如果存在数λ和n维非零列向量X使关系式（4-2）成立，那么就称数λ为方阵A的特征值（characteristicvalue），非零向量X称为方阵A对应于特征值λ的特征向量（ch