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《线性代数 教学课件 作者 董永胜 陈元婕 第2章矩阵.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1矩阵概念2.2矩阵的运算*2.3矩阵的分块运算2.4矩阵的初等变换与初等矩阵2.5逆矩阵2.6矩阵的秩2.7本章小结序言第2章矩阵2021/7/221第2章矩阵矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学领域中占有重要的地位，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用.通过矩阵的图表变换，可以使大脑协调发展，培养学生的创新思维能力。2021/7/2222.1矩阵的概念2.1.1矩阵的定义矩阵是数(或是函数)的矩形阵表,是数学上常用的概念.定义2.1.1:由m×n个数排成的m行
2、n列的表称为m行n列矩阵（matrix）,简称矩阵.这m×n个数叫做矩阵的元素.当元素都是实数时称为实矩阵（realmatrix）,当元素为复数时称为复矩阵（complexmatrix）.2021/7/223一般地，矩阵通常用大写字母A，B，C，…来表示，以aij为元素的矩阵可简记为A=(aij)，有时强调矩阵的阶数，也可写成A=(aij)m×n在矩阵中，当m=n时，称为n阶方阵(squarematrix).只有一行的矩阵A=[a1a2…an]叫做行矩阵(rowmatrix)，也称为行向量；叫做列矩阵(columnm
3、atrix)，也称为列向量.元素都是零的矩阵称作零矩阵(zeromatrix)，记作O.以后零矩阵也用数零0表示,根据上下文是不难分辨的.两个矩阵相等是指它们对应位置的元素必须都相等.只有一列的矩阵2021/7/2242.1.2几种常用的特殊矩阵1.对角矩阵（diagonalmatrix）记作2.标量矩阵（scalarmatrix）3.n阶单位矩阵（unitmatrix）2021/7/2254.上三角矩阵（uppertriangularmatrix）下三角矩阵（lowertriangularmatrix）小结:本节介
4、绍了矩阵的概念以及它的特殊形式：行矩阵、列矩阵、零矩阵、对角矩阵、标量矩阵、单位矩阵、三角矩阵.要求熟练掌握这些矩阵的定义.2021/7/2262.2矩阵的运算2.2.1矩阵的加法定义2.2.1：设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(bij)，则矩阵A与B矩阵的和矩阵规定为即：两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加.应注意:并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加.在这里我们把两个行列分别相等的矩阵称为同型矩阵.2021/7/227我们称矩阵为A=(aij)的负矩阵，记作-
5、A.按照矩阵的加法定义可得出矩阵的减法：矩阵的加法,它满足下列运算律（设A,B,C都是m×n矩阵）：(1)(2)(3)A+O=A.2021/7/228例1设两矩阵求解:2021/7/2292.2.2数与矩阵的乘法定义2.2.2：设矩阵A=(aij)，λ是一个数，则数λ与矩阵A的乘积规定为即：一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素.数与矩阵的乘法满足下列运算律（设A，B为m×n矩阵，λ，μ为数）：(1)(2)(3)2021/7/2210例2设求3A-2B.解：2021/7/22112.2.3.矩阵的乘法定义2
6、.2.3：设两个矩阵,,则矩阵A与矩阵B的乘积记为规定其中应注意:只有当矩阵A的列数与B的行数相同时，A与B才能作乘积，并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列数与B的列数相等.矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：(1)结合律:(2)分配律：(3)设k是数:2021/7/2212例3设求乘积矩阵.解：2021/7/2213例6设求AB，BA与AC.解：2021/7/2214从例题中我们可以得出下面的结论：(1)矩阵的乘法不满足交换律,即一般地说，但对任一方矩阵A,有(2)两个非零矩阵的乘积可能等于零
7、矩阵.若A≠0,B≠0,而AB=0,则称A,B互为零因子,称A为B的左零因子,B为A的右零因子.一般说来AB=0,不能推出A=0或B=0.(3)矩阵乘法中消去律不成立,即AB=AC,且A≠0，不一定有B=C.我们必须注意：根据矩阵乘法分配律，对（k是正整数）只能推出因为在一般情况下B-k没有意义.不能推出A(B-k)=02021/7/2215定义2.2.4:设A是一个n阶方阵，规定（k是正整数）称为A的k次方幂.由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：其中l，k为正整数.又因为矩阵乘法一般不满足交换律，
8、所以对两个n阶方阵A与B，一般说来，若有,则称A为幂等矩阵(inempotentmatrix),若有正整数则称A为幂零矩阵(nilpotentmatrix).k,使2021/7/2216例7设,n为正整数,试求解:设有而所以有2021/7/2217设是x的一个多项式，A为任意方阵，则称矩阵为A的多项式(multinomialofmatrixA)
