极坐标、参数方程习题课.doc

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1、极坐标与参数方程习题课1．设直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线的方程为，若直线与间的距离为，则实数的值为__________．9或-112．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2:（θ为参数，a＞0）有一个公共点在x轴上，则a=_____．3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3r2＝12rcosq－10（r＞0）．（1）求曲线C1的普通方程；（2）曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求PQ的最小值．[来解：（1）原式可化为，

2、即．（2）依题意可设，由（1）知圆C1圆心坐标C1(2,0)，．，所以．4．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为(α为参数)．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(4,)，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：（1）把极坐标系的点P(4,)化为直角坐标,得P(0,4)，因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线l上．（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q

3、到直线l的距离d＝＝＝cos(α+)+2，由此得，当cos(α+)＝－1时，d取得最小值,且最小值为．5．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．解：取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)．PAOyx4∵点A在直线ρcosθ＝4上．∴ρ0cosθ0＝4．①∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，而

4、OP

5、＝ρ，

6、OA

7、＝ρ0，以及∠POA＝，∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－．②把②代入①，得点P的轨迹的极坐

8、标方程为ρcos＝4．由ρcos＝4得ρ(cosθ＋sinθ)＝4．∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．6．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系．解：（1）由题意，直线l的普通方程是y+5=(x－1)tan，此方程可化为＝，令＝＝a（a为参数），得直线l的参数方程为（a为参数）．如图，设圆上任意一点为P(ρ,θ)，则在△POM中，由余弦定理，得PM2＝PO2+OM

9、2－2·PO·OMcos∠POM，∴42＝ρ2+42－2×4ρcos．化简得ρ=8sinθ，即为圆C的极坐标方程．（2）由（1）可进一步得出圆心M的直角坐标是(0，4)，直线l的普通方程是x－y－5－=0，圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，所以直线l和圆C相离．7．已知直线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．（1）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（1）当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0

10、)，．（2）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0，过坐标原点O作C1的垂线方程为xcosα＋ysinα＝0．解方程组得A点坐标为(sin2α，－sinαcosα)．故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：(α为参数)，即(α为参数)．消去参数α，得P点轨迹的普通方程为2＋y2＝．故P点的轨迹是圆心为，半径为的圆．8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1、C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．（1）分别

11、说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当α＝时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1.当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解：（1）C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3；当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1．（2）C1，C