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《2011年天津市大学数学竞赛试题参考答案(经济管理类).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答(经管类) 一. 填空题（本题15分，每小题3分）:1 f(x )æf(x )öx 2 1. 设f(x )是连续函数,且lim=4, 则limç1+÷=e.x®0 1-cosxx®0 èxø2 2x+3 2. 设f(x) =+ax+b ,若limf(x)=0,则a=-2,b=-4.x-2x®¥xæ1öx3. òeç+lnx÷dx =elnx+C.èxø4. 设f(x,y)是连续函数,且f(x,y)=xy+òòf(x,y)dxdy,其中D由x轴、y轴以及D 1 直线x+y=1围成,则f(x,y)=xy+. 12ln4
2、1 p5. òd x=. ln2ex -16二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设f(x)=(2+x)ln(1-x),则f(x)在x=0处(A)f¢(0)=-2, (B)f¢(0)=0, (C)f¢(0)=2, (D)不可导. 答: (A)sin x 2. 设函数y=f(x)具有二阶导数,且满足方程y¢¢+y¢-e=0.已知f¢(x)=0,则0 (A)f(x )在x的某个邻域中单调增加, (B)f(x )在x的某个邻域中单调增少, 00(C)f(x )在x处取得极小值, (D)f(x )在x处取得极大值. 00答: ( C)
3、3. 图中曲线段的方程为y=f(x),函数f(x )在区间[0,a]上有连续的导数,则积分aòxf¢(x)dx表示0(A)直角三角形AOB的面积, (B)直角三角形 AOC 的面积, (C)曲边三角形AOB的面积,(D)曲边三角形 AOC的面积. 答: (D)b4. 设在区间[a,b]上的函数f(x)>0,且f¢(x)<0,f¢¢(x)>0.令S=f(x)dx,1òaPage1of91 S=f(b)(b-a),S=[f(a)+f(b)](b-a), 则2 3 2(A)S4、3 231 答:(C )2 01 -xbd 5. 设函数f(x,y )连续,且ò-1dxòx+1 f(x,y)dx=òadqòcf(rcosq,rsinq)rdr, 则a,b,c,d 取值为p1 (A)a=,b=p,c=,d=1;2sinq+cosqp1 (B)a=,b=p,c=,d=1;2sinq-cosqp(C)a=0,b=,c=sinq+cosq,d=1;2p(D)a=0,b=,c=sinq-cosq,d=1. 2答: (B)é2 ù三. (7分)设函数f(x)在点x处可微,求极限limncosf(x-)-cosf(x).0n®¥ê0n0úëû解由
5、导数的定义和复合函数的求导法则2 cosf(x-)-cosf(x) é2 ù0n 0 limncosf(x-)-cosf(x)=(-2)×limn®¥ê0n 0 ún ®¥2ëû-n=(-2)×[cosf(x)]¢x=x 0 =2sinf(x0)×f¢(x0 ).f(x) 1四.(7分)设函数f(x )在(-¥,+¥)上二阶可导，且lim=0，记j(x)=òf¢(xt)dt，x ®0x0求j(x)的导数，并讨论j¢(x)在x=0处的连续性.解由已知的极限知f(0)=0,f¢(0)=0,从而有1 j(0)=òf¢(0)dt=0.0 1111x f(x) 当
6、x¹0时,j(x)=òf¢(xt)dt=òf¢(xt)d(xt)=òf¢(u)du =,从而有0x0x0xìf(x) ï,x¹0 j(x) =íxïî0,x=0.因为Page2of9f(x )limj(x )=lim=0=j(0),x®0x®0 x所以,j(x)在x=0处连续.当x¹0时,xf¢(x)-f(x) j¢(x)=,2 x在x=0处,由j(0)=0,有j(x)-j(0)f(x)f¢(x)1 j¢(0)=lim=lim=lim=f¢¢(0) 2 x®0xx®0xx®0 2x2所以,ìxf¢(x)-f(x) ,x¹0 ïïx2j¢(x) =í1 ï
7、f¢¢(0),x=0. ïî2而f¢(x)f(x)f¢(x)f¢(x) limj¢(x)=lim-lim=lim-lim2x®0x®0xx®0xx®0xx ®02x1f¢(x)1f¢(x)-f¢(0)1 =lim=lim=f¢¢(0)=j¢(0), 2x®0x2x®0 x2故j¢(x)在x=0处连续.五.(7分)已知函数y=f(x)(xÎ(-¥,+¥))的导函数y¢=f¢(x)是三次多项式，其图像如下图所示：y¢233-223O 2x -3（Ⅰ）关于函数y=f(x)填写下表:,单调增区间单调减区间极大值点极小值点曲线向下凸曲线向上凸区间区间曲线的拐点（Ⅱ
8、）若还知道y=f(x)的极大值为6，点(2,2)在曲线y=f(x)上，试求出y=
