微积分学基本定理.ppt

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1、§5微积分学基本定理一、变限积分与原函数的存在性本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数的原函数的存在性.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.三、泰勒公式的积分型余项二、换元积分法与分部积分法返回一、变限积分与原函数的存在性积分;类似称为变下限的定积分.定理9.9(变上限定积分的连续性)证则为变上限的定于是定理9.10（微积分学基本定理)若f在[a,b]上连续,上处处可导,且由x的任意性,f在[a,b]上连续.证由于f在x处连续，因此注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了“连注2由于f的任

2、意两个原函数只能相差一个常数,定理9.11(积分第二中值定理)设f在[a,b]上可积.(i)若函数g在[a,b]上单调减,且则存所以当f为连续函数时,它的任一原函数F必为(ii)若函数g在[a,b]上单调增,且则存证这里只证(i),类似可证(ii).证明分以下五步:(1)对任意分割T：(4)综合(2),(3),得到推论即证若g为单调递减函数，则h非负、单调减,由定理9.11(i)，因此即得二、换元积分法与分部积分法则证定理9.12（定积分换元积分法）的一个原函数.因此注与不定积分不同之处:定积分换元后不一定要例1解（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积

3、分变量，因此不必改变积分限;用第二换用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，例2解（变元,变限）例3解（必须注意偶次根式的非负性）例4解因此,定理9.13（定积分分部积分法）若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数,则有定积分的分部积分公式：证因为uv是在[a,b]上的一个原函数,移项后则得所以例5解例6解于是其中若u(x),v(x)在[a,b]上有(n+1)阶连续导函数,则三、泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.阶连续导数,则则定理9.14注由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型由积分第一中值定理,可得此式称为泰勒公式的柯西型余项.若记复习思考题(

4、2)给出正确证明(提示:需要借助变限积分).要求:(1)指出其中三处错误;