数学分析复习题.doc

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1、1.求/=limatOtanx【解】tanxtanx、ln().1e卡而,tanxInxx+—兀‘+O(兀J)]S—十1+护+。(X2))-

2、x2+6；(X2),tan^Inlim7—对-X2+o(兀2)2.设/（兀）在［0,a］上可导,且川F严f⑴山=fa（1V°）证明:n廿（0卫）g+f（®=0。【证】令F（x）=^A-7（x）,则F（a）=j3。由积分屮值定理，存在05©5丄使n再由条件知F（gJ=/（d）。对F（x）在［乙卫］上用Rolle屮值定理得：Hw（©,q）u（0,q）使：F©=（/（£）+广（°）=0=>/（£）+广忆）=03.4.求函数——在心

3、=1处的幕级数展开式并指出收敛域（可利用已知的幕级数展开）。X2+4X+3【解】—1—J丄_丄)」丄_3+4x+x221+兀3+x4]

4、x_lW乞（j）“（耳）“-范（7"（7）~1：（-1）"（肖-诺）（2）"•……7分4n=0/O//=04H=oLL山上ifii第一个级数的的收敛域pF］<1和第二个级数的收敛域

5、^

6、<1,得上血级数的收敛域为（一1,3）。6・证明函数+/)SmTO十+)—0a-2+V2=0W在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在(0,0)不连续，而/在(0,0)可微。【证】(1)由lim/(jc,y)=lim(x2+y2)sin—=0(x

7、,y)->(0,0)"(x,y)-»(()・())I2十2=/(o,o),知/点(o,o)连续。Ar(2)人(0,0)=lim/Z))二•/(()'())=limAxsin丄=0Aa—>0Ar山t()/y同理(由对称性)(0,0)=0o说明/在点(0,0)两个偏导数都存在。(3)当(x,y)工(0,0)时,O,y)=2xsin’——,乂cos/JX丿/77/??/7?+yjx-(兀_+)厂上式第一项当(x,)，)t(0,0)时极限为零(显然)，而第二项极限不存在。这是因为=cos2xI,取y=x{x>0),lim/cos•/——=lim—cos—不存在。这说明l

8、imy)不时衣+b^x2+y2^°V241xg)T(o.o)••存在，当然fx(x,y)在点(0,0)不连续。同样/；(x,y)在点(0,0)不连续。⑷考察纣_/(0,0)心+人(0,0)纽，］/(Ax,Ay)一.f(0,0)-[fx(0,0)Ax+fy(0,0)Ay]=(Ax2+)sint=是否为p=g+皤的高阶无穷小，如是则说明/点(0,0)可微，否则不可微。由于vAr2+Ay2.1十•1八11m'=s1n==limpsin—=0EJAx2+△)/Jz+△)"QTOp这说明/点(0,0)可微。(注：【或】同上面(4)的证明，直接证明纣=0心+0心+。(°)。这

9、说明/点(0,0)可微且fx(0,0)=fy(0,0)=0,其它同上。)7.00008・设函数项级数工知(朗在区间/上收敛于S(x),证明工知(力在区间/上一致收敛于S(x)的充要n=l口=1条件是limsupl^(x)=0,“TSxel8H冲Rn(x)=工你(x)。k=n+【解】首先由Cauchy准则易知当S“(x)TS(x)时,R„(x)也收敛且R“(x)=S(x)-Sn(x)s(必要性)设工血⑴芋Sd),即部分和Sn(x)^S(x),从而"=

10、对V£>0,mN=N@),使得当n>N时有

11、S”(x)-S(x)

12、vi由上确界的定义得sup

13、Sn(x)-S(x)

14、

15、

16、/?n(x)

17、/?z/(x)=0。xelxel"ToexeJ(充分性)由假设知limsup

18、5w(x)-5(x)1=0,即对0£>0刖，当n〉N时有"Tooxe/8sup

19、S“(x)—S(x)

20、

21、<£,这就证明了工知⑴芍S(x)(・VW/n=()/上)9.10.11.12.设limart=+oo,证明n-x»=+00n【证明】因为linw”=+x),不妨设％>0(〃=1,2,…)，于是有VG>0,3^,>0,V/?>/V,,nfsan>G.从而当粒〉M时，有%+a2Han%

22、+a?aN{a“]+i+勒+2ann—Nx==1>GnnNNI再山lim」=O,知存在N°〉()，使得当n〉N°时，」v—・因此取N=max{N

23、,N。},当"->8nn2所以lim.tty二乞=+oo/?—>co13.求/=lim[n-n2ln(l+—)]“too/7【解】1=lim[x-x2ln(l+-)]3分XT+oo%二lim^4^6分t上一步用L'Hospital法则和Taylor展开都可以做用1/Hospital法则:limZ叫+"=1im—L±1=ii口―1—=1『to十r/to十2t—o+2(/+l)2用Taylor展开:lin/~ln(J+r)r

24、->(F厂