两角和与差及二倍角公式.ppt

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1、第十八讲两角和与差及二倍角公式回归课本1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβS(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβT(α+β)∶tan(α+β)=(α,β,α+β≠kπ+,k∈Z)T(α-β)∶tan(α-β)=(α,β,α-β≠kπ+,k∈Z).注意:(1)注意公式的适用范围:在T(α±β)中,α,β,α±β都不等于kπ+(k∈Z

2、).即保证tanα､tanβ､tan(α±β)都有意义.(2)对公式tan(α+β)=,下面的四种变式在以后的解题中经常用到:①=tan(α+β)(逆用);②1-tanαtanβ=③tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);④tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ.2.在和角公式S(α+β)､C(α+β)､T(α+β)中,当α=β时就可得到二倍角的三角函数公式S2α､C2α､T2α.sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,tan2α=3.余弦

3、二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α=,cos2α=,它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.4.asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,tanφ=.φ的终边所在象限由点(a,b)来确定.注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的等号两端都有意义时,公式才成立.(2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用､逆用､变形用,还要创造条件用公式,如拆角､配角技巧:β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(

4、α-β)等.注意切化弦､通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式,如1=tan45°,-1=tan135°,=tan60°,=cos60°或=sin30°,sinx+cosx=2sin学会灵活地运用公式.(3)当角α,β中有一个角为90°的整数倍时,使用诱导公式较为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例.(4)搞清公式的来龙去脉,C(α-β)是基础,其他公式都是用代换法及诱导公式得到的推论,即(5)二倍角公式的正用､逆用及变形用是公式的三种主要使用方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如:2sinαcosα

5、=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=cos2α-sin2α=cos2α,=tan2α,1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.考点陪练1.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()解析:sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin90°=1.答案:D答案:A答案:B4.下列各式中,值为的是()A.2sin15°co

6、s15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°答案:B答案:A类型一两角和与差的三角函数解题准备:利用和差公式对三角函数式进行化简与求值,是每年高考必考内容,纵观近几年的高考试题,对本考点的内容一是直接考查,二是以和差公式为角的变换工具,与向量､函数､不等式等知识相结合的综合题.[分析]先将条件等式展开,联立方程组求得sinα•cosβ与cosα•sinβ的值,再将待求式子化简即可.[反思感悟]已知三角函数值,求三角函数式的值,往往要对待求式进行化简.像本题通过化简发

7、现必须先求的值,而已知条件为正弦函数值,因此由求转化为求的值,从而容易想到将两个条件等式展开,再联立方程组即可.类型二二倍角的三角函数解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式为工具,对角或函数名称进行恰当变换,以化简求值为主,在具体问题中,必须熟练准确地运用公式.[反思感悟]二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三角函数式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一次式(即降幂),单角变倍角,求解中注意倍角与单角的相对性.类型三辅助角公式的应用解题准备:1.由S(α+β),我们可以得出辅助角公式,即as

8、inx+bcosx=sin(x+φ)(其中φ角的终边所在象限由a,b的符号确定,φ角满足cosφ=,sinφ=,这是经常用到的一个公式,它可把含sinx、cosx的一次式的三角函数式化为Asin(x+φ)的形式,从而进一步探索三角函数的性质.错源一使用公式时不注意使用条件[剖析]这是一道热点测试题,上述解法执行了“标