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1、第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式总纲目录教材研读1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式考点突破2.二倍角的正弦、余弦、正切公式3.有关公式的逆用、变形考点二 公式的逆用及变形应用考点一 公式的直接应用考点三 角的变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=①sinαcosβ±cosαsinβ,cos(α±β)=②cosαcosβ∓sinαsinβ,tan(α±β)=③.教材研读2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α=④2sinαcosα,cos2α=⑤cos2α-sin2α=⑥2cos2α-1=⑦1-2sin2α,tan2α=⑧.3.有关公式的逆用、变形(1
2、)tanα±tanβ=tan(α±β)⑨(1∓tanαtanβ);(2)cos2α=⑩,sin2α=;(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2.1.sin20°cos10°-cos160°sin10°=( )A.-B.C.-D.D2.化简cos18°cos42°-cos72°sin42°的值为( )A.B.C.-D.-B3.已知α∈,cosα=,则cos=( )A.-B.1-C.-+D.-1+A4.已知sin(α-kπ)=(k∈Z),则cos2α的值为( )A.B.-C.D.-A5.若tan=,则tanα=.6.=.典例1(1)已知sin
3、=cos,则tanα=( )A.-1 B.0 C.D.1(2)(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈,tanα=2,则cos=.(3)设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是.考点一 公式的直接应用考点突破答案(1)A (2)(3)解析(1)∵sin=cos,∴cosα-sinα=cosα-sinα.∴cosα=sinα,∴tanα==-1.故选A.(2)因为α∈,且tanα==2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以sinα=,cosα=,则cos=cosαcos+sinαsin=×+×=.(3)由sin2α=-sinα,得sin2α+
4、sinα=0,∴2sinαcosα+sinα=0⇒sinα(2cosα+1)=0.∵α∈,∴sinα≠0,∴2cosα+1=0⇒cosα=-,∴sinα=,∴tanα=-,∴tan2α===,故应填.1-1 已知α∈,sinα=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-.故sin=sincosα+cossinα=×+×=-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-.典例2(1)计算的值为( )A.-B.C.D.-(2)在△
5、ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值为( )A.-B.C.D.-考点二 公式的逆用及变形应用答案(1)B (2)B解析(1)====.(2)由tanAtanB=tanA+tanB+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1,又A+B∈(0,π),所以A+B=,则C=,cosC=.方法技巧三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.(2)tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立
6、的条件和角之间的关系.(2)注意特殊角的应用,当出现,1,,等这些数值时,考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.2-1已知cos+sinα=,则sin的值是( )A.-B.C.D.-答案D 由cos+sinα=,可得cosα+sinα+sinα=,即sinα+cosα=,∴sin=,即sin=,∴sin=-sin=-.D2-2已知θ∈,且sinθ-cosθ=-,则=( )A.B.C.D.D答案D 由sinθ-cosθ=-得sin=,∵θ∈,∴0<-θ<,∴cos=.∴====2cos=.典例3(1)已知tan(α+β)=1,tan=,则tan的值为( )A.B.C.D.(2)(
7、2018河南郑州质检)若α,β都是锐角,且cosα=,sin(α-β)=,则cosβ=( )A.B.C.或-D.或考点三 角的变换答案(1)B (2)A解析(1)∵tan(α+β)=1,tan=,∴tan=tan===.(2)因为α,β都是锐角,且cosα=,sin(α-β)=,所以sinα=,cos(α-β)=,从而cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(
