高一数学同步辅导教材(第17讲).doc

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1、高一数学同步辅导教材（第17讲）一、本讲进度3.5等比数列的前n项和3.6研究性课题：分期付款中的有关计算二、本讲主要内容1、等比数列前n项和的公式及其应用；2、分期付款中的有关计算问题。三、学习指导1、要掌握等比数列的前n项和的公式及其推导方法。由等比数列定义知道，anq=an+1，即等比数列中每一项乘以公比q以后就是它后面相邻的一项，因此，当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+…+an与qSn=a1q+a2q+…+anq中有n－1项是相同的，彼此相减就可以消去这些相同的项，这是推导等比数列的前n项

2、的和的基本思路。这种方法也称错位相减法，它是数列求和的基本方法之一。等比数列的前n项和的公式为：要全面理解这个公式，它是由公比q=1和q≠1两种情形构成的，在应用时注意公式的公比条件。如果是等差数列，是等比数列，那么数列的前n项和等于等差数列的前n项和加上或减去等比数列的前n项和；数列的前n项和，可以用推导等比数列前n项和的公式方法一样的错位相减法化成等比数列的前n项和。课本第142页第6题、第7题都是这类称为混合数列的求和问题。第7题的结论：(其中n∈N+,a,b是不等于零的常数，且a≠b)也称为

3、裴蜀定理。2、分期付款中的有关计算这是课本安排的一个研究性课题，是等比数列的前n项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。难度并不太高，比较贴近生活，要认真阅读课本内容，弄清分期付款的下列意义：(1)在分期付款中，每月的利息均是按复利计算的；(2)分期付款中规定每期所付的款额相同；(3)分期付款时，商品售价和每期所付款款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断地增值；(4)各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息和=商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。12四、典型例题分析例1在等比数列中，a1+

4、an=66,a2an－1=128，且前n项和Sn=126,求n及公比q。解题思路分析根据等比数列的性质，a2an－1=a1an，所以a1,an是方程x2－66x+128=0的两个根。解得a1=2,an=64或a1=64,an=2。从而可得n=6,公比q为2或。例2在数列中，求数列的前n项和Sn.解题思路分析要分成偶数项和奇数项之和分别求解。显然求前偶数项和比较简单。当n=2k(k∈N+)时，a1,a3,a5,…，a2k－1，…，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，…，a2k，…成等比

5、数列，公比为q，首项为a2=9,.将k=代入得当n=2k－1时，由S2k－1=S2k－a2k，得.例3某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？解题思路分析设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则a1=1000×（1+50%）－x=1000×－x；a2=(1000×－x)(1+50%)－x=1000×()

6、2－(1+)x;依次类推得a5=1000×()5－[1++()2+()3+()4]x.由题意知：1000×()5－[1++()2+()3+()4]x=2000解得x≈424万元例4求数列1，（1+b）a,(1+b+b2)a2,…，(1+b+b2+…+bn－1)an－1,…的前n项和Sn.解题思路分析12首先要弄清这个数列的通项：当b≠1时，；当b=1时，an=nan－1.而=括号中是两个指数函数的差，可见这个数列是由两个等比数列相应项的差组成的，可以先分别求和然后再求差。求和时区分a=1与a≠1两种

7、情形.例5设数列的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0,n=2,3,4,……)。(1)求证：数列是等比数列；(2)设的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f()(n=2,3,4,…)，求的通项公式。(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1解题思路分析(1)求得a1=S1=1S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得,又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t,3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3

8、t,两式相减得3tan－(2t+3)an－1=0,∴(2)由f(t)=得bn=f由此可得(3)原式=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)=例6、从房产公司购买住宅一套，价值22万元。首次付款2万元之后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和。问每年应付款多少元（精确到1元）？实际付出款总额比一次付款多付多少元？解题思路分析由于首付2万元，其余20万元按年分期付款，本