高二数学同步辅导教材(第17讲).doc

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1、高二数学同步辅导教材（第17讲）一、本章主要内容8.6抛物线的简单几何性质课本第120页至第123页二、本讲主要内容1、抛物线的简单几何性质及运用2、直线和抛物线的位置关系三、学习指导1、抛物线的简单几何性质（1）自身固有的几何性质①位置关系：焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴；顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点；②数量关系：焦点到准线距离为p。离心率e=1，通径长为2p（2）解析性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例①范围：x≥0，y∈R②基本参数：焦点F（，0），准线x=，顶点（0，0）③焦半径：抛物线y2=2px（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r

2、=x0+抛物线y2=-2px（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r=-x0抛物线x2=2py（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r=y0+抛物线x2=-2py（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r=-y02、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样，有三种：相离、相交、相切，判断方程仍然是判别式法（△法），其中当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程。所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位置关系时，应注意这一退化情形。四、典型例题例1、当k

3、为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？解题思路分析：直线与抛线线位置关系的判断通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断。由得：k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-2)2=0当k=0时，方程退化为一次方程，-4x+4=0，该方程只有一解x=1，原方程组只有一组解，∴直线y=-2与抛物线只有一个公共点。当k≠0时，二次方程的△=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1)当△>0得k2-2k-1<0，，∴当，或时，直线与抛物线有两个公共点由△=0得k=，此时直线与抛物线相切，只有一个公共

4、点由△<0得，或，此时直线与抛物线无公共点注：1、由本题可知，直线与抛物线只有一个公共点的含义有两种位置情形：2、因抛物线方程不是关于x、y的齐次式，故在消元过程中应适当加以选择，如本题，应消去x较方便。请同学们实践一下。例2、过抛物线y2=2px（p>0)焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，线段PQ的中垂线交x轴于R，求证：

5、PQ

6、=2

7、FR

8、。解题思路分析：引入参数求出

9、PQ

10、及

11、FR

12、，因PQ是过F的旋转直线系，所以将直线PQ的斜率作为参数。显然直线PQ的斜率存在设直线PQ：由得：设P（x1，y2），Q（x2，y2），则由抛物线定义得：为求

13、FR

14、，下求点

15、k坐标，设PQ中点（x0，y0）则，∴PQ中垂线方程：）令y=0，得：∴

16、FR

17、=∴

18、PQ

19、=2

20、FR

21、注：1、本题在求弦长

22、PQ

23、时，因直线PQ过焦点，故采用了定义，简化计算。2、在求PQ中点M坐标时，除了用韦达定理法，还可用点差法，而且因为抛物线方程是非次式，用点差法相对来说简单一些。y12=2px1①y22=2px2②①-②得：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)∵x1≠x2∴∴∴例3、抛物线C：y2=4x，过点A（0，-2）的直线l交P、Q两点，OP、OQ为邻边作平行四边形CPRQ。（1）求点R的轨迹方程；（2）是否存在直线l，使四边形OPR

24、Q为正方形，证明你的结论。解题思路分析：本题的关键是如何利用平行四边形的性质找到点R满足的等量关系。利用对角线互相平分，即相对顶点的中点重合的性质较简单，因P、Q为直线与抛物线的中点，故在求PQ中点时，应考虑利用韦达定理。设直线PQ：y=kx-2由得：k2x2-4(k+1)x+4=0（*）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0）∵POQR为平行四边形∴PQ与OR互相平分即∴①②①、②两式消去k得：y2+4y=4x又因式（*）的△=16(k+1)2-16k2>0∴k>∴y0>0，或y0<-8∴点R的轨迹方程是y2+4y=4x，y<-8或y>0（2）

25、平行四边形OPRQ要成为正方形，需要增加两个条件，所以应在定性（垂直等）及定量（相等等）选择适当的条件。①由OP⊥OQ得：x1x2+y1y2=0∴x1x2+(kx2-2)(kx2-2)=0即(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0由韦达定理得：∴②由OR⊥PQ得：∴∴y0=-6，但y0<-8，或y0>0∴l不存在例4、点A在第一象限，点B在第四象限，线段AB过x轴上一定点M（m，0）（m>0），且A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过O、A、B三点作抛物线P，求：（1）P的方程；（2）当tan∠AOB=-1时，m的取值范围。解题思路分析：用待

26、定系数法求P的方程（1）