高一数学同步辅导教材(第9讲).doc

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1、高一数学同步辅导教材（第9讲）一、本讲教学进度2.4反函数二、教学内容1．反函数2．互为反函数的函数图像间的关系★3．常见的几种图形变换三、重点、难点剖析1.反函数(1)如函数y＝f(x)存在反函数，则f(x)对应的映射f:A→B必须满足两个条件：①B中的每一个元素在A中都有原像；②B中的每一个元素在A中的原像只有一个，（即要求映射f:A→B是一一映射.(2)原函数与其反函数互为反函数．如一个函数存在反函数，常常通过求其反函数的定义域来求这个函数的值域．(3)求一个函数的反函数一般分为三步：①用y表示x，将y＝f(x)变形为x＝f-1(y)；②将x＝f-1(y

2、)中的字母x、y互换，改写成y＝f-1(x)；③由y＝f(x)的值域得y＝f-1(x)的定义域．例１给出下列函数的图像，判断其中哪些函数存在反函数：1图12－1分析一个函数是否存在反函数，关键在这个函数是否是一一映射，或者说函数的值域中每一个元素在定义域中的原像是否唯一，也即对y＝f(x)来讲，必须有“x1≠x2Þf(x1)≠f(x2)”.从图像上看，要求所有与y轴垂直的直线和函数的图像最多只有一个公共点．解作与y轴垂直的直线(图中均用虚线表示)，可见(1)、(3)不满足直线与图像最多只有一个公共点的条件，所以存在反函数的是y＝f2(x)和y＝f4(x).评析

3、(1)有些函数不存在反函数，如f(x)＝x2(x∈R),但如果适当改变其定义域，变为g(x)＝x2(x≥0),则g(x)存在反函数．但必须注意，这时的函数g(x)与f(x)的解析式虽然相同，但定义域不同，它们已不是同一个函数了．(2)由上述方法可见，在定义域上单调增（或单调减）的函数一定存在反函数．当然，存在反函数的函数在其整个定义域上不一定是单调的．例２已知定义在区间(a,b)上的函数y＝f(x)是增函数，求证：(1)f(x)存在反函数；(2)f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域上也是增函数．证(1)假设对于f(x)的值域中的某个值y0，在f(x)的

4、定义域中有两个不同的值x1、x2使f(x1)＝f(x2)＝y0.∵x1≠x2．∴必有x1＜x2或x1＞x2.由f(x)在定义域上是增函数，得f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，都与f(x1)＝f(x2)矛盾．所以对于f(x)值域中每一个值，在其定义域中只有唯一的一个值与之对应，由此得f(x)存在反函数．(2)不妨设f(x)的值域为(m,n)，即f-1(x)的定义域为(m,n).对于任意的y1＜y2,如y1、y2∈(m,n),f-1(y1)＝x1，f-1(y2)＝x2，则y1＝f(x1)，y2＝f(x2).如果x1＞x2，由f(x)是增函数，则y1

5、＞y2，与y1＜y2矛盾；如果x1＝x2，由函数的定义，必有y1＝y2，也与y1＜y2矛盾．所以当y1＜y2时，必有x1＜x2，即f-1(y1)＜f-1(y2).也就是说f-1(x)在它的定义域上也是增函数．评析(1)欲证明函数f(x)存在反函数，也可以证明对于f(x)定义域中任意的x1和x2，若x1≠x2则f(x1)≠f(x2).(2)同本题类似，可以证明在定义域上的减函数一定存在反函数，且其反函数也是减函数．例３求下列函数的反函数：,(x＜0),(1)f(x)＝－1(x≥0)；(2)f(x)＝2x，(0≤x≤1),x2－2x＋3.(x＞1).解(1)y

6、＝－1≥－1(x≥0).由y＝－1，得＝(y＋1),∵x≥0，∴x＝,∴f-1(x)＝(x≥－1).(2)当x＜0，y＝＜0，x＝y3.∴f-1(x)＝x3(x＜0)．当0≤x≤1,y＝2x∈[0,2],x＝y．∴f-1(x)＝x(0≤x≤2)．当x＞1，y＝(x－1)2＋2＞2,(x－1)2＝y－2，∵x＞1,∴x＝1＋.∴f-1(x)＝1＋(x＞2)．x3,(x＜0),∴f-1(x)＝x，(0≤x≤2),1＋，(x＞2).评析(1)按约定，求一个函数的反函数时，必须注明反函数的定义域．(2)求一个分段函数的反函数，只需分段求出它的反函数，然后再合成．1.互

7、为反函数的函数图像间的关系在求一个函数的反函数时，按习惯字母x表示自变量，y表示自变量的函数，因此在第二步时将字母x、y互换，由此得反函数y＝f-1(x)．如注意到在直角坐标平面中，若将x轴和y轴互换，可以看成是整个坐标平面绕直线y＝x翻转180o而得，从这个角度考虑，就不难理解函数y＝f(x)和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称．例４求证：函数f(x)＝的图像关于直线y＝x对称．分析证明一个函数的图像关于直线y＝x对称，只要证明图像上任意一点P关于直线y＝x的对称点PM也在图像上，或证明函数y＝f(x)的反函数f-1(x)即f(x)本身．证１

8、设y＝f(x)的图像上有一点P(a,b