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1、高一数学同步辅导教材（第4讲）一、本讲教学进度1．5（P23-24）二、本讲内容1．一元二次不等式>和<的解法.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式.3．二次函数在给定范围内的最值.三、重点、难点选讲1．一元二次不等式>和<的解法.⑴因一元二次方程的两个根是，故有 一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>. 一元二次不等式<，(<)的解集为<<.⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件.例1 解不等式：⑴≤；⑵>；⑶≤.解：⑴原不等式即 ≤， 整理得 ≥， ≥. ∴不等式的解集为≤，或≥. ⑵∵≥, ∴
2、由，得不是原不等式的解. 当，得>， 即<，<<. ∴原不等式的解集为<<，且. ⑶∵>, ∴原不等式与≤同解， ∴原不等式的解集为≤≤.评析 第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将除去.例2 解关于的不等式：>（,R）.解：原不等式可化为<. . ⑴>时，>，∴不等式的解集是<<. ⑵当时，，∴不等式的解集是. ⑶当<<时，<，∴不等式的解集是. ⑷当<<时，>，∴不等式的解集是 ⑸当时，，∴不等式的解集是. ⑹当<时，<，∴不等式的解集是.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式⑴不等式>与二次不等式>同
3、解；不等式<与二次不等式<同解.⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式≤的解集是不等式<的解集与集合的并集.例3 解不等式： ⑴≥； ⑵≥.解：(1)原不等式等价于≤. ∴不等式的解集是 =(2)原不等式等价于. ∴不等式的解集是 评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集.例4：求不等式的解集.解：不等式与不等式组 ① 等价. , ②由①，, ∴ 由②，， ∴. ∴原不等式的解集是评析：（1）解时，因不能确定的符号，所以不能把不等式两边同乘以而去分母
4、，只能采用移项、通分的方法求解. （2）本题也可以分两种情况考虑，①若>0，则-1<恒成立，由2，.②若<0，则2恒成立.∵->0，∴将-1<两边同乘以-.得<-1，由①、②可得原不等式的解集是<,或≥.例5 已知集合，，且,.求实数a,b的值.解：由已知，得, . 由A，从数轴可得集合B 又 和2是的实数根. 3.二次函数在给定范围内的最值 由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值. 如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相
5、应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有最大值，又有最小值例6 已知函数, (1)当时，求的最大值、最小值； (2)当时，求的最大值、最小值； (3)当时，求的最大值、最小值；解：函数即,抛物线的对称轴为直线.(1)当时， 由图象知， 当时， 当时，(2)当时， 由图象知, 当时， 当时，(3)当时， 由图象知, 当时， 当时，评析 (1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解. (2)一般情况下,需要说明当x取什么值时,函数取大或最小值.例7 已知函数求:(1)当时，函数的最值;(2)当时，函数的最值;解：函数即 抛物线和对称轴为直线
6、(1)当时， 由图象知, 当时， 函数无最大值.(2)当时， 由图象知, 当时， 函数无最大值.评析 （1）最大值、最小值统称最值. （2）根据题设条件画图象时，要注意表示x范围的不等式中是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含等号时，相应的端点不在图象上，应画空圈.例8 求函数的最小值。解：由题设，知令则 由图象知， 当即时， 例9 关于的方程有两个实根（1）求k的取值范围；（2）设求关于k的函数解析式，以及这个函数的最大值和最小值。解：（1）由题意得 整理得 （2）由韦达定理， ∴
7、由图像可知，当时，， 当时，.例10 已知函数，在内有最大值-5，求实数值.解：函数变形为.下面根据的不同情况进行讨论.（1）当即时，由图(1)知， 当时,取最大值 令得 (2)当即时，由图(2)知， 当时,取最大值 令(3)当即时，由图(3)知， 当时,取最大值 令(舍去)， ∴由上知，或评析对分情况讨论的根据是与的关系。练 习;一、选择题1．不等式的解集是（ ）A． C． D2．不等式（x-4）(x+2)的解集是（ ）A． B.C.
