高一数学同步辅导教材(第8讲).doc

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1、高一数学同步辅导教材（第8讲）一、本讲教学进度2.3函数的单调性和奇偶性二、本讲教学内容1．函数的单调性2．函数的奇偶性三、重点、难点选讲1．函数的单调性⑴函数的单调性是对于函数定义域内的某个区间而言的，即这个区间必定是函数定义区间的子区间．在一个函数的定义区间内，不同的子区间上函数可能有不同的单调性，因此，在谈某个函数的单调性时，必须同时说明相应的区间．在不提单调区间时，应认为函数在整个定义区间内有同一的单调性.函数的单调区间可能是开区间，可能是闭区间，也可能是半开半闭区间．⑵函数不一定有单调区间，如函数的定义域为，显然不存在单调区间.又如函数也不存在单调区间．⑶判断函数的增减性

2、，可以根据已研究过的函数的单调性，也可以根据函数单调性的定义.由定义判断函数在区间上的单调性时，通常设，然后作差式，将该差式作适当的变形并判断差式的符号，从而得出结论．例1画出函数的图像，并由图像写出函数的单调区间．解，或，∴函数的图像如图由图像可见，函数的递增区间为及，递减区间为及．评析⑴根据函数的图像观察函数的单调区间是一种直观的方法．⑵函数的递增区间不能写成．例2画出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间．解由图像可知，函数的递增区间是，递减区间是.评析在区间上，.对一切且，都有，因此函数在区间上既非增函数，也非减函数．例3求证：函数在定义域上是减函数.证函数的定义域为，设

3、，则，∴即，∴函数在上是减函数.评析证明函数在某个区间上的单调性通常都是根据函数增减性的定义去证明．例4求证：函数在区间上递减，在区间上递增.证设，则.∵∴,,,∴∴函数在上递减设，则.∵，，,∴，,∴函数在上递增.评析⑴用定义证明函数的单调性时，常将差变形为若干个代数式的积或商，并由每一个代数式的符号确定的符号.⑵可以证明，当时，一般地有在区间以及上是减函数，在区间以及上是增函数.例5求函数的单调区间.分析求函数的单调区间之前，先要求出函数的定义域，单调区间必是定义区间的子区间.解∵，，∴，函数的定义域为.设，.二次函数的递增区间是，递减区间是.∴函数的单调递增区间是，单调减区间

4、是评析⑴对于二次函数等已研究过的函数，可以直接运用其单调性结论.⑵本题中，，即是的函数，是的函数，称是的复合函数，对于复合函数的单调性，其规律如下：函数单调性增增增增减减减增减减减增2．函数的奇偶性⑴函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.由定义知，如果函数是奇函数或偶函数，若在函数定义域内，则也一定在函数的定义域内，因此其定义域在数轴上表示的区间必然关于原点对称（简称“定义域关于原点对称”）.由此在判断函数是否具有奇偶性时，首先应检查其定义域是否关于原点对称.⑵证明函数的奇偶性，只能根据函数奇偶性的定义，即研究和的关系.⑶函数的奇偶性情况有四种可能：①是奇函数；②是偶函数；③既

5、是奇函数又是偶函数；④既非奇函数又非偶函数.⑷一个函数是奇函数的充要条件是函数的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是函数的图像关于轴对称.函数奇偶性的证明通常根据奇偶性的定义.例6判断函数的奇偶性:⑴;⑵;⑶;⑷,解：⑴，定义域为.∵,∴是奇函数.⑵∵∴∴的定义域为.∵,∴，是奇函数.⑶∵，，∴，定义域为，关于原点不对称.∴是非奇非偶函数.⑷的定义域为.∵,∴是偶函数.评析⑴有时也可以由或判断是奇函数或偶函数.⑵第⑷小题说明了用定义判断分段函数的奇偶性的方法.例7已知定义在上的偶函数在区间是增函数，求证：在区间上是减函数.分析对于抽象的函数的增减性，我们仍然只能根据定义，

6、由及题设条件推得，从而证明在上是减函数.证设，∵为偶函数，∴，.∵,∴.∵在区间上是增函数,∴，,∴在区间上是减函数.例8已知定义在上的函数为奇函数，为偶函数，且，求函数的解析式.分析利函数奇偶性的定义再构建一个关于和的方程，即可求得.解①，.∵为奇函数，，为偶函数，，∴.②①-②：.例9求证：函数不可能既是奇函数又是偶函数.分析这类“不可能”的问题通常采用反证法证明.证的定义域为.假设为奇函数,则对一切成立,∴假设为偶函数，则对一切，.∴令，得，与矛盾，∴函数不可能既是奇函数又是偶函数.练习一、选择题1．如果偶函数在区间上是增函数，那么在区间上（）A．是减函数B．是增函数C．可能

7、是减函数，也可能是增函数D．不一定具有单调性2．对于奇函数，必有（）A．B．C．D．3．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．函数递增区间是（）A．B．C．D．5．函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数又非偶函数6．已知函数在区间上是减函数，且是偶函数，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题7．已知函数，当时是奇函数，当时是偶函数.8．有三个命题：①若是奇函数，则必有；②偶函数的图像必与轴相交；③