浅谈介值定理应用的体会.doc

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1、例题1.设f(x)在[a,b]上连续,a0).2.最

2、值定理设f(x)在[a,b]上连续,则m≤f(x)≤M,其中,m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值.3.介值定理设f(x)在[a,b]上连续,则当m≤μ（数）≤M时,∃ξ∈[a,b],使得f(ξ)=μ（数）.4.零点定理设f(x)在[a,b]上连续,则当f(a)·f(b)<0时,∃ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0是的，我从这个条件1，我可以推出可以应用以上的四条定理.那么题目还有其他条件吗？看起来似乎没有了，其实我们要证明的东西，也是辅助条件，那么我们来解读下要证的条件在[a,b]内至少有一点ξ,，要证闭区间，思来想去能

3、用必区间的中值定理有几个呢？有两个一个是介值定理，一个积分中值定理一般形式.3.介值定理设f(x)在[a,b]上连续,则当m≤μ（数）≤M时,∃ξ∈[a,b],使得f(ξ)=μ（数）.显然这个题目没有积分中值定理，所以优先排除.暂且不说是否用介值定理，我们继续看题目还有条件吗？发现了，确实还有条件.f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n惊喜的发现{[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n}它是个数！结合三个红色部分，于是惊喜的发现锁定我们要采用的是函数的有界性定理.只有它是证明在闭区间存在一个数使得函数等于一个

4、数.（这不就介值定理的应用吗？要证介值定理，常要用最值定理.）当拿到一个题目没有思路的时候，应该从它的已知条件，去一步步分解，找到命题人的思路，而不能单单的套题型，当然有些题目就是单纯的要我们去套题型.同样分析这个题目，题目这次给出的条件有：1.f(x)在[01]上一阶连续导数，2.f(0)=0，3.证明闭区间存在一点似的一阶导数等于一个数那么由这些条件可以分析出那些东西？条件1：f(x)在[01]上一阶连续导数，可以推出：f(x)满足有界，最值，介值四条定理（显然这个题目不是用它）一阶导数也满足上面四条定理条件2：没什么解读的条件3

5、：如上题的解析，似乎在暗示介值定理，为什么这么说呢？在此我们先来看介值定理是怎么说的？一步步分解已知，从条件和结论双方慢慢的去靠拢，要理解题目解法和知识点背后的框架，这样才能让你的思路清晰.当然要及时回顾，不然就如我般会忘得一干二净.这么看很抽象，下面用经典的三段式来分析下1.f(x)在[a,b]上连续（题目给出的套话）2.m≤μ≤M（关键是证明的这部分，证明这个数μ在最大值与最小值之间）3.∃ξ∈[a,b],使得f(ξ)=μ.（要证明的结论结论）因此要用介值定理的话，关键是证明第2部分的条件成立与否？在看这个题目一阶导数函数本质还是

6、个函数，而这个201f(x)部分本质是个数，因此从要证明的就是201f(x)这部分在最大值最小值之间.这个题目的本质还是介值定理的应用，因为它证明还是在闭区间存在一个数使得函数等于一个数.（这不就介值定理的应用吗？要证介值定理，常要用最值定理.）用最值定理去证明这个数在最大值最小值之间.由三段论知道，我们这个题目的关键在于证明201f(x)dx在f’(x)最大与最小值之间.如何来证呢？解题：（首先由）f’(x)在[0,1]连续，故m≤f’x≤M（原理连续函数的有界性）（如何联系f(x)与f’(x)可以用拉格朗日中值定理，题目也给出了一

7、个点，这也是暗示运用中值定理）fx-f0=f’μx-0,(0<μ

8、等于这个函数的原函数的积分）”这种题目比第一个题单纯的用连续函数的有界性多了一步搭桥.但是它的套路是先建立f’x与f(x)的关系，将f(x)转换为了f’x，然后利用f’x的有界性再去“要证的那个数”在最大最小值之间，从而