数学学年论文毕业论文介值定理的若干推广

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1、介值定理的若干推广摘要：在闭区间连续函数的介值定理的基础上，适当改变或附加一些条件，证明开区间上连续函数也具有介值性以及闭区间上具介值性的函数能成为连续函数。关键词:连续函数;间断点；介值性1引言在闭区间连续函数的介值定理的基础上，适当改变或附加一些条件，证明开区间上连续函数也具有介值性以及闭区间上具有介值性的函数能成为连续函数。2主要结论命题1：若函数/(兀)在[a,b]连续，且对任意的xg[a,b],则存在歹使得/(歹)=纟证明:作连续函数F(x)=f(x)-x,易知F(x)在[a,"上连续,由已知,对任意xea.b,有

2、f(x)e[a.b],有a5/(x)0fF(b)=f(b)-h<0当F(a)=O或F(b)=O时，取或即可当F@)>0,F(Z?)<0时，F(a)•F(b)<0,根据零点定理，至少存在一点使.f©=g,F(G=O即/©=§综上证明:即知存在§w[a,b],使得=g命题2：若函数于⑴在[a,叶上连续，且f(a)=f(b)=O,f+f(a)•//(/7)>0,则至少存在一点ce[a,b],使得/(c)=0证明：不妨设f；(a)X),人(方)<0,(另一利储况类似可证)，根据极限保号性。昇(a)=lh

3、n也上型=向世>0xt/x-axwx-a即存在5>0,对任意的xe(a,d+岔)，冇上血>0或/(x)>0,又由于x-a昇(b)=linv心W(")=lim加>0zbx-bx—bx-b即存在8^>0,任意兀w(b・6*,b),有/(兀)>0或/(%)>0,于是存在坷,兀2w(o,b),x-b,e(a/a+5J,x2g(b-32tb),使.f(xJ>0,/(x2)<0,即/(%])•/(x2)<0,故有零点定理，至少存在一点ce(a,b)使得/(c)=0命题3：设I为区间(I可以是开，半开，半闭等)，左端点是d(可能是・oo),右

4、端点b(可能是+8),/⑴在I上连续，又lim/(x)=A,lim/(x)=B,(其中x->a+x->/?A,B可能是-8,+oo),且AvB(约定・8V实数av+oo),则对任意gw(A,B),则存在cwl,使得/(c)二§证明：设1=(。,/?)为有限开区间，lim/(x)<^0,Vx:a0,Vx：b-31^于是，存在/[，花w仏“)，无0仏°+5[),/Oi)vg,心w(b・§2，b)，/(X2)>^,即/(x,)<^<

5、/(x2),且函数/⑴在[吗宀卍仏卩上连续，根据介值定理，存在ce(d,b)使得/(c)二歹对于区间I为其它儿种情形，类似可证。命题4：设I为区间(I可以是开，半开，半闭等)，左端点是d(可能是-00),右端点方(可能是+00),/(尢)在I上连续，且/«+())•/(方-())v(),则存在一点c-G(a,b),使得/(c)=0定义：设函数/(兀)在[d,b]上有定义，若对于任意的xpx2e[a,b]fx{

6、具有介值性o［注］:一般来说，函数在［血］上具有介值性,即不一定在［讹］上连续。例如函数：'.1、sinxa/W=1x_a0x=a在任意区间［d,b］上可取到介于于(d)与/'(b)之间的一切中间值,即心在［以］上具有介值性，但它在X=6Z点间断，从而在(d,b)上不连续，但附加一些条件，上述结论就能成立。命题5：若函数/⑴定义在［°上］上,且具有介值性,当r为有理数时,对任意数列{xn}9lim/(xM)=r,有/(x)=r,则函数于(兀)在［a,b］上连续。/?—>co证明：(反证法)假设函数/(兀)在k，b］上不连续，设c

7、为内任一点，(c为边界点类似可证)，且c为不连续点，即存在勺>0,对任意5>0,存在兀：x-c<3,

8、/(x)-/(c)

9、>^0取5严1,3x{:卜i_c

10、v/［=l,有

11、/(^)-/(

12、>sQ§2=%，“2：卜2_c

13、v§2=%'冇

14、/(兀2)-/(C)

15、")••••••戈二%'3~c

16、/(兀)-/(c)

17、、£o••••••即存在数列{xn},xnTc(nT8),使得f(xn)-f(c)>6q,也即/(£)

18、xn)