介值定理与区间法解不等式 毕业论文

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1、介值定理与区间法解不等式摘要：区间法提供了解不等式的一种统一的方法，有广泛的适用范围。其特点在于：一方面，将“解不等式”转化为“解方程”，获得不等式保持“真”或“假”的若干小区间；另一方面，将不等式解集的探求归结为不等式在各小区间内真假性的验证，而这又可通过特殊值法来实现。这样，可以避免由于不等式等价变形的复杂性所引起的繁琐的讨论。因此，区间法比传统的方法要简洁方便得多。关键词：解不等式;介值定理在初等代数中，常用列表法解一元高次不等式，由于这一方法是以多项式理论为基础的，所以有很大的局限性，本文将以连续函数的介值定

2、理为依据，阐明区间法解不等式的一般原理，从而将区间法推广到解更广的一类不等式（基本上可包括初等代数中的全部不等式），并且对解法做进一步的改善与简化.先回顾一下介值定理，它的证明可在数学分析教材中找到.介值定理设函数在某一区间内定义且连续，如果在这区间内的两点及处有不相等的函数值，那么对于与间的任意实数C，必定存在实数，使.特别地，若与异号，则必存在使.因此，如果连续函数在某一区间内没有根，那么对于该区间内的每一值，函数的值保持同样的正负号.于是有下列推论，它为区间法解不等式提供了理论依据.推论设函数在某一区间（为便于

3、叙述，不妨设。若、或等均与此类似）内连续.(1)若方程在内没有根，则函数的值在内保持相同的正负号；(2)若方程在内的全部不同的根是，则这个根将分成个小区间：(1)在每一个这样的小区间内，函数的值保持相同的正负号.这个推论告诉我们，对于(1)中每一个小区间内的一切值，不等式（或5）要么恒真，要么恒假.因此，只要逐一考虑各个小区间内的正负号，即判定不等式（或）的真假性，就可得到不等式（或）在区间内的全部解.正因为在每一个小区间内的值保持相同的正负号，所以我们可以用特殊值法来判定各个小区间内的正负号：只要在该小区间内任取某

4、一特殊点，考察（计算或估计）函数在该点处的值的正负号就可以了.对于一般形式的不等式：(或)(2)其中函数与在区间内定义且连续.不等式(2)等价于不等式：(或)(3)将推论应用与不等式(3)，相应地便可得出关于不等式(2)的类似的结论，从而可以用区间法直接解形如(2)的不等式.其一般步骤是：1．求出不等式(2)的定义域（即函数与的定义域的交集）；2．写出对应的方程：=(4)并解此方程；3．将方程(4)的全部不同的根由小到大排列，把定义域分成若干个小区间.在每个这样的小区间内，不等式(2)要么恒真，要么恒假.4．在每一小

5、区间内分别取某一特定值，考察与的对应值的大小，判定不等式(2)在该区间内的真假性；5．写出所有使不等式(2)为真的那些小区间，它们的并集就是不等式(2)的解集.例1解不等式.解原不等式的定义域是.考察方程，解之，得，它们将定义域分成三个小区间：.在内，取，左边，原不等式为真；5在内，取，左边，原不等式为假；在内，取，左边，原不等式为假.故原不等式的解集为：.说明：本例要解的是无理不等式，通常要进行“两边平方”的变形，但这只是在一定条件下才是等价变形，所以必须就的不同取值范围进行讨论，往往是比较冗繁的.例2解不等式.解

6、原不等式的定义域是.考察方程，它等价于=，解之，得，它们将定义域分成五个小区间：，，，，.在这五个小区间内分别取特殊点，经过计算可以判定在区间与内原不等式为真，而在其余三个区间内原不等式为假.所以原不等式的解集为：.说明：本例要解的是含绝对值的不等式，通常的解法有二：一是分别不同情况化去绝对值符号，但讨论起来颇为复杂；二是将不等式两边平方（这里是等价变形），但得到的是一个四次不等式，最终还要归结为列表法（区间法）解，具体演算也比直接用区间法繁.例3解不等式.解不等式的定义域是，在这三个区间的每一个内，不等式两边的函数

7、都是连续的.对应的方程为，解之得，它将区间分为两个小区间：与.而在区间与内，此方程无根，所以在这四个小区间：，，，内，不等式分别保持相同的真假性.5在这四个小区间内，依次分别取特殊值，不难断定，在第二、四两个区间内原不等式为真，而在第一、三两个区间内原不等式为假.所以原不等式的解集为：.说明：本例要解的是分式不等式，它的定义域一般是若干个区间（去掉使不等式两边分母为零的点），不等式两边的分式函数虽然在整个定义域上并不连续，但在定义域的各个区间上分别是连续的，上述解法实质上是在这些区间上分别运用介值定理的推论.与此类似

8、的一些不等式（如例4）可用同样的原理与方法解之.例2解不等式.解不等式的定义域是.考察方程，它的解是，将区间分成两个小区间：，，而在区间内，此方程无根，所以在这三个小区间内原不等式分别保持相同的真假性.在区间，，内分别取特殊值，不难验证：在区间与内原不等式为真，而在区间内原不等式为假.所以原不等式的解集为：.例5解不等式.解这是一个三角不等式，