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1、介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理來解决的题目。此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质Z-,了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些
2、问题是十分有必要的。介值性定理：设函数/(兀)在闭区间［d,切上连续。并且函数/⑷与函数.f@)不相等。如果卩是介于f(a)和/(b)之间的任何实数f(a)g>则至少存在一点x0€(«,/?)使得y(x0)=pt.推论：根的存在定理如果函数产(兀)在闭区间s，列上连续，并且和/(b)满足/(a)/(&)<0,那么至少存在一点兀()，使得/(xo)=O.即是方程/(x)=0在(a,b)内至少有一个根。1・介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的
3、题1=1。可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范I韦I等的问题。1.1介值定理证明方程根存在性证明类似方程/(x)=g(x)在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数F(x)=/(x)-g(x)的零点问题，一般可以利用根的存在定理來解决这类的问题。例1证明：函数/(兀)在区间［0,2可上连续并且函数.f(o)=/(2d)。那么方程/(x)=/(x+d)在［0,可内至少有一个根。证明：设F(x)=/(x)-/(x+a),函数F(Q在区间［0,可上面连续，并且f(0)=/(0)7(g)，F(a)=/(a)-
4、/(2a)=/(a)-/(O),如果.f(0)-/⑷=0,那么x=0就是方程/(x)=f(x+tz)的一个根;如果/(0)-/(。)工0,那么F(0)F(q)v0。根据根的存在定理可以得到，在(°,〃)内至少存在-一点c,使得F(c)=/(c)-/(c4-a)=0,所以方程f(x)=f(兀+a)在［0,a］至少存在一个根。例2证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明：设/(兀)二a()xn+axxn~}+•••+an_xx+an,limf(x)=limxnXT-8'7X-»-00limf(x)=limx"a{}XT+o
5、O'fXT+aOq+—・・+bI*x”丿/+乞+..・+乞=+oolim/(x)=+a)可得任给M>0,存在N〉0,当X>N时，于(兀)〉M〉0,X-»4-00，lim/(x)=-oo可得任给M<0,存在N’vO,当X0。根据根的存在定理即存在一点兀。w(M-1,N+1),使得/(兀0)=°，所以/(X)至少有一个实根。1.2介值定理推断方程根个数利用介值定理我们已经解决了方程根是否存在的问题，我们不但能判断存在性的
6、问题，我们还可以利用这个定理来推断出方程根的个数的问题。例3证明：方程x3+px-^-q=0,p>0,有且只有一个根。证明：设f(X)=X3+/7X+^=0,则lim=+oo,所以譴得0./(b)〉0.lim=-oo,所以菠得0.f(a}<0.IT-0C'7根据介值定理，％w(a,b),使得/(c)=0,即c‘+pc+q=O。在由p〉0,对Vx2>无],有f（X2）-fM=4~Xl+°（兀2-兀】）一XJR；+西七+X1）+卩（兀2-兀1）乂函数/(X)是单调递增的，所以只有一个根。例4证明：方程9x-1=0,恰好有3个实
7、根。证明：设/(x)=x3-9x-l,计算可以得到/(-3)=-1<0,/(-2)=9>0,/(0)=-1<0,/(4)=27>0,在区间[-3-2],[-2,0],[0,4]分别对连续函数/(兀)用根的存在定理，推断岀/(x)在这3个区间(-3,-2),(-2,0),(0,4)个有一个零点,但是/(兀)是3次多项式,最多有3个零点。所以方程x3-9x-1=0,恰好有3个实根。1.3介值定理推断方程根的范围根据介值定理我们已经能够判断出方程根的存在性和根的个数，而且还可以根据这一延理推断出方程根的范围。例5°],°2，。3
8、为正数，入＜几2＜入，证明：于(兀)二⑷+—+—=0X—AIX—/19兀―几3在(2异2)和(入,人)各有一个根。证明：当XT/l+oo时,上亍和出〒有界。X—^2x—所以/(•X)T+8,同理当兀T/1-00时，上丁和上亍有界。x—/I]x—所以于(兀)T_OO,于是存在充分靠近入的坷〉人和充分靠近人
