导数的介值定理的几种证明

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1、加a一乡)‘al(r一bn(r一)af(b)一bf(a)IA}b一a一一万二万一一a‘‘f(b)一f()顺便还可以求出1A1二—af(b)一bf(a):Z·二r-,,a如果rrr、‘,一就有(了2r‘,、,,、{br一,甘}A}一::二竺生竺二O,一叹勺一a厂⋯b一aIb叼,,从上面所举的这些例题可以体会至。在学习数学的课程日寸或在考虑问题时总是应该了“”,,力求将复杂的形式用简单的命题来进行改述这也就是数学的一种抽象思维的过程把“人”可“”,,“”以看作是点相识不相识可以用实线或虚线来表示一条线是实的还是“”,可“”,“”。,虚的以理解为一个球掉

2、入这个盒内还是掉入那个盒内凡此种种都是,。,,舍弃了事物的许多具体的内容而只有很一般的形式了事实上有不少经验告诉我们要,,只有真正理解了,充分重视看来是十分简单的内容要真正理解它是不容易的遇到复杂形,。式的问题就容易看到它的实质和核心的部分如果说牛顿看到了苹果从树上掉下来就发现了万有引力定律,不如说牛顿从这一事实想到了苹果落地与月亮为什么不落地之间有着共。,,同的规律支配着看来似乎是相互不同的其实是被同一个规律支配着这个共同的规律就。。,,是万有引力定律在数学这一领域内也是如此这就告诉我们在学习的过程中应该进、,。行比较整理在不同的形式中发现它们共

3、同的本质(本文是根据作者在东北师范大学、曲阜师范学院给数学系学生所作的报告整理而成的)导数的介值定理的几种证明赵根格熊必播“”,“”。连续函数有介值定理某些不连续函数也有其介值定理这里介绍的导数的“”。。介值定理即是一例但应该注意不是薄一函数都必是某函数的导数、,,“闭区间上的可微函数的导数〔区间端点考虑左右导数〕可能有间断点但介值定”。:理成立即x)在〔a,,,a尹,‘a,导数的介值定理若f(b〕上可微且f()午f(b)则对于f()与f(b)之。,:,,‘。间的任一数必有一点〔(ab)使f(c)二。尹a‘。证明1不妨设f()<拼(f(b)x。,。

4、作一辅助函数中(劝一f(x)一衅任〔的x。,,xa,。xa,,因厂()在〔b〕上可微故叭)也在〔的上可微由于叹)在〔的上连续故在a,。xa,。〔的上能达到最小值设叭动是叭)在〔的上的最小值任(a,西),甲xa,乙〕上可微,,甲,,林二0若号因()在〔由费马引理(唇)=f(毛)一,,a,,c。即f(毛)二“又毛〔(吞)毛即为所求的a,axa,。xa,,若毛=或乙即rp()或印(乙)是甲()在〔b〕上的最小值即对任〔占〕。,。甲(a)三甲(x)或甲(西)二甲(x)但是这是不可能的xa,,甲因若对任〔句叭a)‘(x)甲(x)一甲(a)甲(x)一甲(a)有

5、01im=甲尹(a)互0全X一aX一a‘。。‘。。。而甲,(a)二f‘(a)一林之0即f()之。这和f()<。矛盾因此毛不可能是a同理尾不可能。是石,a,,。因此毯只能在(占)内问题得到证明,a件,,甲xx砰xa,,注在f()<

6、证明2作函数xaf()一f()a

7、占)之l’ed的任意值。必存在(b)2。,eZa,,‘c::使几(”)=件由微分中值定理存在任(乙)使f()二。g=h(a),‘a/(因为(b)f()羌fb)尹a产,产(ag(b),尹(乡)和ag(b故对于f()和f(b)之间的任一数或属于f)和之间或属于f人()二),。之间或等于g(b)前二情况已证明存在一点c:“/ag“一若在f()和(b)之间{cZ卜L产(的和若在fg(b)之间。使f‘(c)=。c任(a,b)若仁L=g(l))由微分中值定理:f(b)一f(a):~‘o仁=g(b)~~f(c),ac竺炭D一一宁口=‘、,尹<、一(、b一。/a产

8、。证明3不妨设f()<卜(f(西)产a‘。取A和B满足f()