浅谈均值定理的应用.doc

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1、浅谈均值定理的应用长沙市工商职业中专学校陈志强均值定理作为不等式一章的重点，具有着广泛应用。由于应用时，学生常感到困难，为了帮助学生解除困惑，现在从如下几个方面浅谈其应用。—、求最值。利用已知儿个正数的和为定值，可求它们的积的最大值。已知儿个正数的积为定值，可求它们的和的最小值。1、直接用定理例1、已知兀〉1,求24-6x-的最大值。X—1解：x>1x-1>024I24~6(x-1)+—>2j6(x-1)—=24X-1vX-1242424-6x=18-[6(x-l)+——]<18-24=-6x-1x-

2、124当6(x-l)=——x=3时x-12424-6兀--—有最大值为-6X-12、变形后再用均值定理例2、已知a〉/?>0,求/+―—一的最小值。b(a-b)解：丁a>b>0a-b>0a2+—=(a_疔+2b(a_b)+—-—+b2b(a-b)b(a-b)..4444={a-by+b(a—b)+b(ci—b)+++++h(a-b)b(a-h)b(a-b)b(a-b)4当(d_b)2=b(a—b)=b2=B

3、Jh(a-b)>8*a-b)2b(a-b)b(a-b)b2方)4=历a=141b=V2入治有最

4、小值沏6变形后，涉及撤项，要撤成相等的项，然后再用，否则会出现错误,如上例，如果撤成:a2+—=(a-b)2+2b(a-b)+b2+—-—+—-—+—-—>8^54,b(a-b)3b(a-b)3b(a_b)3b(a_b)这个就是错误因为：当(a-b)2=2b(a-b)=b2=―-—时,由(a—掰=决得a=2b,由3b(a_b)(a-b$=2b(a-b)得d=3b,这样撤项不相等，故不能取"等号”，因此不能取最值。例3、求/U)=天』4_丘(0

5、4_兀2)兀2w4二工¥X=2当4-x2=x2即兀="时，/max（x）=2/•X)+1>2Jx](1)x2+1>2^x7(2)+1>2■■■(3)耳+1n2反(n)(l)x(2)x(3)x…x(〃)得(1+Xj)(1+尤2)(1+尤3)…—2Q天兀2・•・州七…兀=1•(1+兀[)(1+兀2)(1+兀3)・••(1+£“2〃二、用于证明。例4、已知兀血•••••£=1，且兀]兀2•••••£都是正数'求证：（1+X]）（1+兀2）（1+兀3）•（1+£）A2"证：・・・x,x2•…•兀“均为正数（

6、1+耳）2、经过变形后再用均值定理例5、已矢Fla.beR+f求证:a3+b3>a2b+ab2除书上的比较法可证外，述可用均值定理。证：Ta.be/?1a+a^b\[^W=a2b(1)3>^W=ab2(2)3(1)+(2)得a"+Z?3>a~b+ab2依此法可证：a4+b4>a3h+ab3a5+b5>a4b+ab4a5+b5>a3b2+a2b3等。只要满足右边齐次式的次数是几，就将左端相应项撤成几个做和，如果有分数指数幕应根据实际情况来定。例6、已知3、b均为正数，求证：a2+b2>(a+b)4ab

7、□分析(°+h)4cib=y/a3h+Qalf6Z>0,b>0?97.9证：・・•"+"+/+/厂=丽(I)4丄土土,顾帝=师(2)(1)+(2)得，a2+b2>(a+h)y[ab例7、若a>0,/?>0且a+b==l求证:分析：构造满足均值定理的条件。证法—:6/>0,/?>0*b+》・is吩+i(1)(2)(1)+(2)6Z+Z7+-+-+1+1、(a+])+和方+二<=2故命题成立°证法二：丁a>O.b>O,a+boa+丄+方+丄+2J（a+丄）（b+-）<422V22即J（d+

8、）（/2+

9、）

10、<1ILj~cib—T、（a+：）（b+—）~=I，成立V222故原命题成立。三、用于解答应用题例8、一轮船的燃料费P（元）与其速度（km/时）v满足P=kv2o已知轮船速度为每小时10km的时候燃料费为每小时200元，轮船其余费用（不随速度变化）为每小时450元，求轮船速度为每小时多少千米时，航行每千米的费用总和最小。解：依题意得：当v=10时，P=200则200=kX102k=2设航彳亍每千米的费用总和为y元y=^+450=2v+450^Q50VVVv=2X30=60忙一空时Vv=15（千米/时）

11、答：轮船速度为15千米/小时时，航行每千米费用总和最小最值为60元。