克服均值定理应用中的思维定势例谈

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1、克服均值定理应用中的思维定势例谈沈富国内容摘要：本文针对高职考生在应用均值定理解题时常出现的错误思路进行剖析，阐述思维定势对解题思路的正负迁移影响。以帮助学生在高考复习中克服思维定势的消极影响，正确理解、运用数学定理解题。关键词：定理应用思维定势思路分析纵观近几年广东省高职招生考试数学试题,从2000年至2004年考查均值不等式知识点,隔年出现了三次:2000年第22题：求函数的最小值。2002年第17题：求函数的最小值。2004年第17题：求函数的最小值。以2002年第17题为例，学生很容易联想到均值不等式，并不

2、假思索得出，的错误结果。究其原因，是学生在运用基本定理公式时，常会习惯性地受思维定势的影响，从而导致解答错误。5所谓思维定势，指的是对学习活动的心理准备状态。学生对已学过的知识结构和已有的思维方式，都能构成其学习的心理准备状态，它能对学生的思维发生习惯性的导向作用，使思维活动带有一定的傾向性。这种思维定势可以促进正迁移，也可以促使负迁移的发生，这主要取决于思维定势与所要解决的问题是否相适应。如果相适应，就会产生正迁移，称之为适切定势，它可以迅速感觉对象，作出合理反应。如果不相适应，就会产生负迁移，称之为错误定势。这

3、种定势一旦形成，则往往来不及适应对象而产生错觉，直接妨碍对问题的正确理解。如何克服这种思维错觉定势的影响？笔者曾经在组织高考复习中，做过一点简单尝试，有意识地设置一些形同质异的问题，让学生去分析、对比、鉴别、归纳。例（1）求函数的最小值。分析：观察函数结构，化为，由均值定理知，当且仅当，即时，函数取得最小值。例（2）求函数的最小值。分析：观察函数结构形式与例（1）相同，化为，由均值定理知，函数取得最小值。例（2）解答看似正确，其实是错解。在运用均值定理时，应特别注意要同时满足“正、等、定”三个条件：①正：均为正实数

4、；②等：当且仅当，取等号；③定：定值，取得最小值；定值，取得最大值。例（2）之所以错解，是因为只符合“正”、“定”两个条件，而不符合“等”的条件。要取等号，当且仅当，即5。但此式不成立。意即：找不到实数，使均值不等式取等号。所以不能用均值定理求解。而学生往往误认为：只要结构形式相同，解题方法也必定相同，却忽视了定理应用的条件。这正是学生思维定势的一种反应，也是解题时误识的通病所在。对于例（2），如何求解？可考虑换个思维角度。譬如利用函数的单调性：函数在上是单调递减函数，在上是单调递增函数。正解：函数化为，因函数关系

5、确定，则函数值域可由自变量取值范围确定。令，则,利用在上的单调递增性，知：当，即时，函数取得最小值。由以上两例分析，可归纳求形如的最小值的一般方法：（1）当时，函数化为。当且仅当，即时，函数取得最小值，此时满足均值定理取等号的值是存在的。（2）当时，令，函数化为。由函数在上的单调递增性，求得当（左端点）时，函数的最小值。5对于其它形似均值定理，而不符合均值定理应用条件的函数，可仿照上述方法，化为形式：（1）若，则由函数在上的单调递增性，求得当取左端点值时（不妨设为），函数的最小值。（2）若，则由函数在（0，1）上的

6、单调递减性，求得当取右端点值时（不妨设为），函数的最小值。例（3）求函数的最小值。分析：基于对上述两例解题思路的对比分析，学生应该不会再出现类似例（2）的错解：由，得。因当时，时，这与正弦函数的有界性是相矛盾的。正解：令，函数化为，由，得。因在上是增函数，则当，即时，函数取得最小值。或令，函数化为，由，得，因在上是减函数，则当，即时，函数取得最小值。如果学生在利用单调性求解时，对换元后的自变量的区间判断感到困难，还可以采取对函数式“裂项”的方法，使之符合均值定理的使用条件，结合考虑函数的单调性，运用均值定理求解。或

7、解：将函数式裂项，化为：5由，在上单调递增，则当时，函数取得最小值。此解法之所以能运用均值定理，是裂项后的与满足“正、等、定”条件，当且仅当时，实数是存在的。由此可见，思维定势的作用是可以产生连续解决一系列同类型问题的定型化思路。适当选择同类型问题进行集中训练，概括一般原理方法，是帮助学生形成思维适切定势的有效途径。而要克服思维错觉定势的消极影响，可以精选一些形同质异的问题，让学生在分析对比的过程中，从本质上加深对问题的理解，从而增强思维的批判性，提高识别判断力，提高学生分析问题和解决问题的能力。那么象本文开头列举

8、的三道高考题以及其它类似的问题，解题时就会轻车熟路，得心应手,而不会受思维错觉定势的影响，盲目掉入陷坑。参考文献：张雄著《数学教育学概論》，陕西科学技术出版社。(作者单位:塘厦理工)5