【精品】三角函数最值的探究.doc

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1、三角函数最值问题探究2008-10-8三角函数的值域和最值是三角函数的重要性质Z—，也是学习中的难点Z—•求三角函数的值域和垠值，所涉及三角函数的所有知识外，还与二次函数、不等式等其他重要知识点有密切的联系，是历年高考考查的热点。本文对三角函数求值域（最值）的儿种常用类型略作归纳，供同学们参考。1・y二osinx+b型设/=sinx化为一次函数y=at+b在闭区间te[-1,1]±最值求之。例1求函数y=-3sinx+2的最值解令r=sinx,则原式化为y=—3f+2,居[—1,1],得一15）上5,故儿讪=一1,儿=52・y=

2、Qsin兀+bcos兀+c型/7再利用止弦、余弦的有界解之引进辅助角(ptan,化为y=yja2+h2sin(x+(p)+cf例2当一—<%<—,求函数/(x)=5sinx+5-x/3cosx的最值解/'(%)=5sinx+5^3cosx=10sin(x+—),设t=x+—,BP-—

3、c型设t=sinx,化为二次函数y=at~--bt+c在闭区间te[-1,1]上的最值求之例3求函数y=-2cos2x+2sinx+3的值域解原式化为y=-2(1-3川x)+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1、2=2sinx+—I2丿（、2令r=sinx,则y=2t+—2丿1+-,re[-l,l],山二次函数图象可知，当t=-丄时，ymin=丄；当/=14.y=6fsin2x+/?sinxcosx+cos2尤型函数此类函数可先降次，整理再化为类型2：y=Asin2x+Bcos2x的最大值、瑕小值。例4求y=sin?

4、x+2sinxcosx+3cos2x的最大值.a仃解y=sirrx+2sinxcosx+3cos^x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x(、=V2sin2x+—+2当sin2x+—=1时，y取得最大2+^25・y=asinxcosx+/?(sinx±cosx)+c函数设f=sinx土cos%化为二次函数血二U+bt+c在闭区间/w[-^2,JR上的最值求之±2例5求函数y=(sinx+V3)(cosx+V3)的最值解原式化为y=sinxcosx4-73(sinx+cosx

5、)+3,则令t=sinx+cosx,贝!jsinxcosx=—-)max且re[-72,72],故y二耳1+J金+3=丄0++1,所以当r=V2时,22二-血时，ymin=

6、-^6oasinx+b钿6.y=型csinx^d反解出sinx,曲止弦函数的有界性

7、sinx

8、<1；或川用分析法求瑕值例6求函数）=w二3求最值sin^+3解法「利用求反函数法解出si心晋,由

9、sin*l,解得-28冷91)min=_2,Vmax=_^；解法二：利用“部分分式”分析法,,再山

10、sin*l,m-2

11、m.n_2,ymiw=_g7.dsinx+b）'=;型ccosx^a化归为）/=Asinx+Bcosx型解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）ciny例7求函数），=亠丄的最大值及最小值cosx+2<1山sin(x+^)

12、<1解法一：原式可化为ycosx-sinx+2y=0,化为yjy2+1sin（x+（p）=-2y,解得一二5）.，5二,2-3Qiny解法二：函数y=的儿何意义为两点cosx+22(cosx,sinx)连线的斜率£,jfu。点的轨迹为甲位圆，33minmaxP(-2,0),如图可知，•型sinx4例8求函

13、数y=sinx+—(幻0,-的最小值。I2.解：令t=sinx,xe0,—,则y=f+彳jw(0,l],利用函数y=ax+—型的单调性得，函数12tx，兀Gsinx71y=t+-在居(0,1]上为单调递减函数，故当/=1时，y最小值为5。山以上几种形式归纳出解三角两数最值问题的基本方法：一是用止余弦函数的有界性求解，二是利用二次函数闭区间内瑕大值、最小值方法。此外，述可以利用重耍的不等式公式或数形结合的方法来解决。附:2008年三角函数最值问题1-(湖南卷6)函数mXsinl辰心沁在区间雳上的最大值是(C)A.1D.1+V31+

14、V322・(重庆卷10)函数f(x)二sinx-1v3-2cosx-2sinx(00),f(3J,3丿,且/(X)在区间有最+sin(》+x)