三角函数最值的探究颜版

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1、三角函数最值问题探究1.y=asinx+b型设/=sin兀化为一次函数y=at+b在闭区间fw[-1,1]上最值求之。例1求函数y=-3sin兀+2的最值2.y=dsinx+Z?cosx+c型引进辅助角©tan,化为)，二+沪sin(x+0)+c,再利用正弦、余弦的有界解之JTTT例2当—-

2、+2sinx+3的值域4.y=6fsin2x+bsinxcosx+cos2x型函数此类函数可先降次，整理再化为类型2：求丁=Asin2x+Bcos2x的最大值、最小值。例4求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值.5.y=asinxcosx+/?(sinx±cosx)+c设2sin兀土cosx化为二次函数+句+Q在闭区间虫［-a/2,V2］上的最值求之例5求函数y=(sinx+73)(cosx+V3)的最值5.y=csinx+d反解出sinx,由正弦函数的有界性sinx<1；或可用分析法求最

3、值例6求函数貯害求最值小asinx^b6.y=型ccosx+d化归为）/=Asinx+Bcosx型解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）例7求函数y的最大值及最小值cosx+28.y=asin兀+"型sinx4(71例8求函数y=sinx+———e0,—的最小值。sinx12三角函数最值问题练习：nn1.函数y=2sin(x)~cos(—+x)(xgR)的最小值等于•363/r2.已知函数/O)=3sinx,g⑴=sin(x),直线x=m和它们分别交于M,N,则MN=maxTTrnqr3.当0

4、，函数f(x)=的最小值是・4cosxsinx-sin"xqinr4.函数尸的最大值为,最小值为・cosx+25.函数y=cosx•tanx的值域为・6.已知函数f(x)=—(sinx+cosx)-—

5、sinx-cosx

6、,则/(x)的值域是.22TT7T7.已知函数/⑴=2sin亦(e〉0)在区间-一，一上的最小值是-2,则少的最小值等于348.(1)已知&w(0,7T),函数)y(2)已知xg(0,^),函数y=sinx+——的最小值是___sinxJT9.在中，O为坐标原点，A(l,cosy),B(si

7、n&」),&w(0,R,则当△OAB的面积达最大值时,0=・10.已知函数f(x)=2cosx(sinx一cos兀)+1,xeR・(I)求函数/(x)的最小正周期；7T3兀(II)求函数/⑴在区间上的最小值和最大值.8411・若函数/(兀)=1+cos2^•2+smx+a2sin(专一兀)吨+彳)的最大值恥+3,试确定常数。的值.12.已知函数/(x)=2sin2x+sin2x・⑴若xe[0,2^].求使几力为正值的x的集合；(2)若关于x的方程[/W]2+/(x)+«=0在[0,勺内有实根，求实数a的取值范

8、围.4例I.解令r=sinx,则原式化为y=-3r+2,^[-1,1],得—15yS5,故儿曲=一1，儿痂=5例2•解/'(x)=5sinx+5V3cosx=10sin(x+—),设t=x+—,即一—

9、，当t=-—时，ymin222当/T时，儿那=5;例4・解y-sinx+2sinxcosx+3cos~x=1时，y取得最大2+V2当sin)?max=fW；当心-迈时'Xnin=一。原式化为y=l-一，再由，再由血让1,解得-2十-丁例5•解原式化为)：=sinxcosx+V3(sinx+cosx)+3,则令f=sinx+cosx,则V3r+3=

10、(r+V3)2+l，所以当t=^2时,l-y例6.解法一：利用求反函数法解出sinx=3(v+1),由sinx<1,M-2

11、“部分分式”分析法,故Jmin=一2,Jmax例7.解法一:sin(兀+0)二/2)原式可化为ycos^—sinx+2y=0,化为yjy2+1sin(x+^)=-2y,即得-,故3'3ymin35)maxr+1解法二：函数V-SinX的几何意义为两点p(-2,0),cosx+22(cosx,sinx)连线的斜率而！2点的轨迹为单位圆，如图可知,故人出二去,ymaxa/33(■例8•解：令2sinx,