三角函数最值问题的探究

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1、三角函数最值问题探究2008-10-8三角函数的值域和最值是三角函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一.求三角函数的值域和最值，所涉及三角函数的所有知识外，还与二次函数、不等式等其他重要知识点有密切的联系，是历年高考考查的热点。本文对三角函数求值域（最值）的几种常用类型略作归纳，供同学们参考。1．型设化为一次函数在闭区间上最值求之。例1求函数的最值解令，则原式化为，得，故2．型引进辅助角，化为，再利用正弦、余弦的有界解之例2当，求函数的最值解，设，即，由的图象知，当时，有最小值，；当时，有最大值1，故；3．型设，化为二次函数在闭区间上的最值求之例3求函

2、数的值域解原式化为令，则，由二次函数图象可知，当时，当时，4．型函数此类函数可先降次，整理再化为类型2：求的最大值、最小值。   例4 求的最大值.   解8   当时，y取得最大5．型函数设化为二次函数在闭区间上的最值求之例5求函数的最值解原式化为，则令，则，且，故，所以当时，；当时，。6．型反解出，由正弦函数的有界性；或可用分析法求最值例6求函数求最值解法一：利用求反函数法解出，由，解得，故；解法二：利用“部分分式”分析法，原式化为，再由，解得，故7．型化归为型解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）例7求函数的最大值及最小值解法一：原式可化为，

3、化为，即，由得，解得，故8yP(-2,0)x解法二：函数的几何意义为两点，连线的斜率，而点的轨迹为单位圆，如图可知，，故8．型例8求函数的最小值。解：令，，则，利用函数型的单调性得，函数在上为单调递减函数，故当时，最小值为5。由以上几种形式归纳出解三角函数最值问题的基本方法：一是用正余弦函数的有界性求解，二是利用二次函数闭区间内最大值、最小值方法。此外，还可以利用重要的不等式公式或数形结合的方法来解决。附:2008年三角函数最值问题1.（湖南卷6）函数在区间上的最大值是(C)A.1B.C.D.1+2.（重庆卷10)函数f(x)=()的值域是B（A）[-]

4、(B)[-1,0]（C）[-]（D）[-]3.（上海卷6）函数f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是24.（辽宁卷16）已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．5.（全国一17）．（本小题满分10分）8（注意：在试题卷上作答无效）设的内角所对的边长分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值．解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及可得即，则；（Ⅱ）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.6.（北京卷15）．（本小题共13分）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．解：（Ⅰ）．因为函数的最小正周期为，

5、且，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以，8因此，即的取值范围为．7.（四川卷17）．（本小题满分12分）求函数的最大值与最小值。【解】：由于函数在中的最大值为最小值为故当时取得最大值，当时取得最小值8.（天津卷17）（本小题满分12分）已知函数（）的最小值正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．8（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．当，即时，取得最大值

6、1，所以函数的最大值是，此时的集合为．9.（安徽卷17）．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数在区间上的值域解：（1）由函数图象的对称轴方程为（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取最大值1又，当时，取最小值8所以函数在区间上的值域为10.（湖北卷16）.已知函数（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；（Ⅱ）求函数的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）　　＝（Ⅱ）由得在上为减函数，在上为增函数，又（

7、当），即故g(x)的值域为11.（陕西卷17）．（本小题满分12分）8已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．解：（Ⅰ）．的最小正周期．当时，取得最小值；当时，取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．．．函数是偶函数．8