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1、高考解答题中的最值问题探究海南华侨中学马莉李红庆屮学数学的最值问题包括于代数、立体几何及解析几何备部分Z屮，在实际问题屮也有广泛的应用。利用屮学数学方法解最值问题，要求学生有牢固掌握各方面基础知识，并且全面严谨的分析问题的能力，和综合灵活的解决问题的能力。因此，最值问题历来是高考考杳的热点。一在高中数学中解决最值问题主要是应用以下几种思想方法：1.配方法主要用于一元二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意白变量的范囤。2.判别式法主要用于可化为关于兀的二次方程d（y）•兀2+b（y）・x+c（y）=0的函数y=/（x）。由A>0
2、且d（y）H（）,求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值。3.不等式法包括基木不等式，均值不等式。注意运用均值不等式，要考杳“一正二定三相等”。4.换元法包括三角函数代换，参数代换，二元代换，整体代换。用换元法时，一定要注意新变量的取值范围。5.数形结合理解一些方程的几何意义，如两点间距离、斜率、圆、点到直线的距离等等。6.导数法利用函数的导函数来研究函数的单调性和最值，在近几年屮，越来越成为高考的热点,并且一般难度为屮等偏上。7.函数单调性法形如y=兀+£仏〉0）的函数，在不能用均值不等式的情况下，可考虑函数的
3、单调性,•X分X〉0和Xv0两种情况讨论。二高考解答题中，最值问题几乎可以渗透到每一个知识点中，与其融为一体。在知识的交汇点处命制题目越来越成为高考的热点,这类问题一般能比较好地考杏学生综合运用知识处理问题的能力。解决综合类题目中的最值问题，要注意综合运用所学的数学思想方法来分析问题，及时地进行思维的转换,灵活运川求最值的几种方法，尤其要注意利川导数这一工具來解决函数的最值。例1记函数/（X）的定义域为D,若存在AoGZ）,使/UO）=XO成立，则称以（兀0,兀0）Q..1Q为坐标的点为函数/'（兀）的不动点.若/（兀）=二一£,
4、函数/（X）图像上的两个不动点分别x+3为A、A’，P为函数/（x）图像上的另一点，且其纵坐标）>>3,求点P到肓线4A’的距离的最小值及取得最小值时点P的坐标。解：（方法一）由/(x)=^±^=x,解得A(2V2,2a/2),4'(一2血,一2血)x+3.・.直线A4‘的方稈为y=x设点P（圮y）,点P到肓线的距离为d,则y>3,I3x+8步一777V2x+3当且仅当（—兀―3）=,即x=—4时，上式取等号，此时，x=-4,y=4,（-T■故点P（-4,4）使得点P到直线A41的距离的故小，最小值为4近分析：木方法运用的是解析几
5、何的常规思路，思路严谨，是解决此类问题的常用方法。（方法二）QyIQ由题知，函数f（x）=-―的图像是如图所示的双Illi线，以兀=-3和y=3为渐近线,x+3点P的纵坐标*>3,则这个点在双曲线的左半支上，由不动点的定义可知，不动点一定在肓线y=x±,所以肓线必,的方程为y=x当直线y=x+m与双曲线的左半支相切时，切点就是所求的左半支上到頁线AA'距离最小的点P。■y=x+m联立方程］3x+8，y=「x+3消去y可得x2+mx+3m-8=0①令4=加’一4(3加一8)=0,可解得m=S(m=4时，J［线与双曲线的右半支相切，故
6、舍去)此时，方程①有唯一解兀=-4,所以，点戶(-4,4)使得点P到玄线/VT的距离的最小，最小值为4血。分析：方法二充分利用图形，首先是分析不动点的定义发现，直线必'的方稈不需要求两个点的坐标即可育接得出。以数形结合的思想解决最值，把问题转化为两条平行线(图屮的切线与肓线A/T的距离)，大大缩小了计算量。在解决几何问题的时候，要注意，几何问题首先要考察图形，如果可以从图形屮发现解决办法，一般部优于纯粹计算的方法。数行结合的数学思想也是高考考杏的重要思想2—。例2已知抛物线C:y2=x±定点M(l,l)和动点B,C满足MB丄BC,
7、求
8、MC
9、的最小值.解：由题可设点的坐标为C(F,c),显然b、c、1互不相等•••MB丄BC:.MBBC=0・・・MB=(b2一1,方一1)BC=(c2-bc-b):.(b2-l)(c2-b2)+(b-l)(c-Z?)=0.・.l+(l+Z>)S+c)=0c=b=-(—+方+1)+In+b+b.•.CA3或cS-1.-.
10、^C
11、2=(c2-l)2+(c-l)2=c4-c2-2c+2令/(c)=c4—c—2c+2,则fc)=4?-2c-2=2(c-l)(2c2+2c+1).・./（。）在（Y）,-l］上是减函数，［3,+8
12、）上是增函数，.•.当c=-l时，/（-1）=4,当c=3时,/（3）=68>4:.MC&小值为2。分析：木题用解析几何的方法，以向量积来描述垂育的位置关系，简化了计算。事实上,用数学式了描述垂育关系的方法还有多种，如勾股定理、斜率Z积等于负一
