三角函数的最值.doc

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1、高三第一轮复习数学---三角函数的最值一、教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题．二、教学重点：求三角函数的最值三、教学过程：（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；③，设，化为二次函数在上的最值求之；④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．（二）主要方法：（1）认真观察函数式，分析其结构特征

2、，确定类型。（2）根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。（3）在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。2．特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。（三）例题分析：1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例1：求函数的最值，并求取得最值时的值。解：=∴当即时，取得最大值，当即时，取得最小值，。练习：变式1、函数的最大值是。解：思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例2是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值

3、是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由。解：当时，，令则，综上知，存在符合题意。思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。练习变式3:解:,y有最小值,无最大值.3、换元法解决同时出现的题型。例3求函数的最值。解：令，则，且有故，由知当时，；当时，。[思维点拨]：遇到与相关的问题，常采用换元法，但要注意的取值范围是，以保证函数间的等价转化。练习变式4、求函数的最小值。解：令，则，所以当时，4、图象法，解决形如型的函数。例4、求函数的值域。思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。这里以图象法的主求解。解：由得，设点则可看

4、作是单位圆上的动点P与定点Q连线的斜率k令：，圆心到直线的距离，得或所以函数的值域为。O3y例5．设，若方程有两解，求的取值范围。解：x设，要使两函数图象有交点（如图），则。[思维点拨]：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则的范围又该怎样呢？5、利用不等式单调性求最值。例6求的最值及相应的x的集合。变式：上的最大值为多少？思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。（四）巩固练习：1．已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式是（）2．若方程有解，则．四、小结：（1）求三角函数最值的方法有：①配方法，②化为一

5、个角的三角函数，③数形结合法④换元法，⑤基本不等式法。（2）三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。（3）求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。（1）含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。五、作业：