三角函数的最值问题浅析.doc

《三角函数的最值问题浅析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、三角函数的最值问题三角函数的最值问题是小学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握三角知识，沟通三角，代数，几何之间的联系，培养学生的思维能力。求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基木类型处理，掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。(1)y=asinjt+bcosx+c型；(2)y=6/sinxcosx+ft(sinx±cosx)+c型;(3)y=6?sin2x+Z?sinx+c型；(4)尸"s"‘一"型"ccosx+d在求三角函数的最值时采用的主要方法有：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本

2、不等式法等.下面给出一•些例题就具体的类型及采用的方法加以分析，希望能就这一类问、y=asinx+hcosx+c9题的解法能给大家一点启示。引入辅助角0(cos(p=丁2—肝,sin0二为y=y/a2+h2sin(x+0)+c•例1.求函数y=sinx+cos(x-—)的最大值和最小值.6解:•71.713.yj3匚•<兀、y-sinx+cosxcos—+sin^sin—=—sinx+——cosx=73sin(x+—)•66226当无=2R;r+彳,=V3,鸟x=2k7T一弓,ymin=-y[3(keZ).评注：解决此题时需“化一”即将不同名三角函数的问题转化为同一名称的三角函数问题，在解决

3、此类问题时还要要熟练掌握相关三角公式，以及正弦.余弦函数的性质。二、y=6/sinxcosx+/?(sinx±cosx)+c,此类函数可用换元法，设r=sinx±cosx化为二次函数尸斗卩+如+f在闭区间re[-V2,V2]±的最值求之;MBWMH/例2.求函数y=(sinx-2)(cos兀-2)的最大、最小值。解：原函数可化为：y=sinxcosx-2(sinx+cosx)+4,sinx+cosx=t(11

4、-2V2；当

5、/=J时,3/7Q/—即x=2k;r一一(ZZ)时，ymax=-+2V2・^1评注：此类问题是三角函数与二次函数转化，采用了“换元法”。再换元时要注意换元后参数t的范若忽视re［-V2,V2］,会发生t・2时，有最小值,而无最大值的情况。三、y=asin2x+/?sinx+c,可设f=sinxj化为二次函数y=at2+b/+c在fw[-1,1]上的］=i值求之;例3、求函数fQx)二c()s*sinx在区间［―J—］上的最小值。44解析：fCx)二1—sin、+sinx=—(sinx—-)2+-.24・••当x=~-时，%：,=-2・42评注：此题实质上是求二次函数的最值，在结合二次函数的

6、图形解决问题时一定要注意函数y=dnx的值域、单调性及单调区间，以免造成误解。四、y=处叫+「型的函数，此函数常把y看作常数，化成y=A-sin(wx+ur)bcosx+d的形式，3•尸皿+b型.ccosx+d(1)转化为型1利用有界性可得。(2)转化为直线的斜率求解.评注：例4、求函数尸匕的最大值和最小值.2-cosx剖析：此题的解法较多，一•是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题(由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可).解法一：去分母，原式化为sinx—tcos尸2—2y,即sin(x—仔)二2-2yJ1

7、+于故号刍W1,解得仁庁化厅・JTT733・_4+"_4-V7••J^nujx—，Xmw—•33解法二：令%i=cos%,yi=sin^r,有打+jf=l.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P(2,2)以及该圆上的动点.1/(cos%,siDT)的直线/¥的斜率乩故只需求此直线的斜率吨值即可•由辟仏得扫呼.评注：此题的解法二是将三角函数相关问题与几何问题有机的结合起来，采用数形结合的方法解决问题，直观明了。而数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此在日常练习中要适当加强，养成良好的思维习惯.通过以上儿个例题，我们可以看出，在解决“三角函数的最值”此类问题吋,只要我们能够将相应的问题化归

8、到具体的类型屮，然后采用相应的办法，就可达到事半功倍的效果。