浅析初中数学中的最值问题

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1、浅析初中数学中的最值问题　　一、几何最值问题――最短路线问题　　几何最值问题通常为最短路线问题的引申，这类问题是考试中的一个热点问题，这类问题本身的特点为解答过程简单，但是思考过程却相对复杂，属于一种能力考查类的题目.这类题解答的关键在于“平面内连结两点的线中，线段最短”这一原则.通过对称的方式，有效构建不同点的共线，从而找出最短线路.　　生活实践过程中，由于某种限制约束，导致了寻求最短路线，这类问题所简化成的数学模型称之为最短路线问题.如何将实际中的问题转化为纯数学问题，并使用所学知识进行解答，这也是考试题目本身的意义.　　几何最值问题涉及到的

2、情况有很多种，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；当所求的最小距离的两个点不在一个平面内时，就需要通过将曲面或者是折面进行铺平处理，将实际的曲面问题转换成为平面问题，这和数学中比较常用到的一种转换的思想比较相似，将一个不熟悉的问题转化成为我们所熟悉的问题，再进行求解.平面的最短距离问题的思路在于将两侧的点进行同侧的转化，一般通过对称投影的方式，连结一点与另一点的对称点，从而获得最短距离.因此，通过对称或者是投影的方式进行直线的构建，成为了这类题目解答的关键所在.　　这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展

3、成一个平面的.例如，在地球（近似看成圆球）上任意的A、B二点之间的最短距离问题，应如何考虑呢？通常而言我们使用A、B两点及地球球心O的平面形成截面，其截面的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线.这种问题其实是一种实际的问题之一，但是此处不做研究，因此我们所建立的模型本身是一种数学化的模型，与实际情况相同，却又与实际情况存在差距，实际问题需要考虑的因素太多，此处不详加谈论.　　解答最短线路的问题时，通过“对称”的方式将两点之间的问题进行转换，使得两点在直线的两侧，依据

4、两点之间线段最短的原理，从而有效找出最短路线.这种也是一种数学中常用的转化思想.下面我们来以一个实例进行说明这种数学思想的应用.　　例1如图1，一个侦查员骑马从A地出发，去B地实施侦查工作，期间需要将马带到河边喝一次水.假若所行走的路段没有任何障碍，那么如何实现侦查员所走的路段距离最短，并在图中标示出.　　[TP2CS11.TIF，BP#]　　分析这种是一种常见类型的几何最值问题，所涉及的应用比较简单，因为为一个平面内的最值，通过“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间线段最短，从而找到所需的最短路线，这便是本题解答的一个突破口.　　

5、解要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.　　作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连结A′B交河岸于一点P，这时P点就是饮马的最好位置，连结PA，此时PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.　　证明设河岸上还有异于P点的另一点P′，连结P′A，P′B，P′A′.　　而这里不等式P′A′+P′B>A′B成立的理由是连结两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线.　　上述例子中通过将点对称的方式进行最短距离求解的方法称为化直法.还有一些曲面、空间的几何最值问题，其解答的思想与这种化直法的本质相同，

6、只是首先应将曲面或者是空间问题转化为平面的问题.　　二、函数最值问题　　函数的最值问题是一种典型的应用型题目，常出现在中考的试卷之中，一般为中高档类型的题目.这类问题本身贴近生活中与社会中的问题，可以有效体现出数学本身的人文价值与社会价值，同时有利于考生的分析能力、建模能力以及综合应用能力等全方位的考查.其中常见的函数又可以划分为一次函数与二次函数.对于这类问题的解答重点在于建立函数关系，进行函数分析，进而求得最值.下面将分别通过两个实例进行说明函数最值问题的解答过程与解答方法.　　1.利用一次函数的性质来求最值问题　　一般的一次函数而言，其自变

7、量的取值为全体实数，那么就不存在最值，然而实际情况下考虑时，其自变量会有所约束，也就是数学中的取值范围限制，一次函数均为单调函数，那么在特定的自变量范围之内，就会出现最值.这类问题进行求解时，建立一次函数的同时，应注意将自变量的范围进行确定，利用函数单调性进行最值的求解.　　例2房地产开发商，计划在某地建设A、B两种户型的住宅房80套，该开发商计划的投资额在2090万到2096万元，已知两种户型的建造成本如下表所示：　　（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？　　（2）该公司如何建房获得利润最大？　　（3）通过市场的信息反馈可知，B型住宅的

8、售价维持不变，A型住宅房的售价将会提升a万元（a>0），假设A、B型住宅可以全部售出，问该开发商如何实现利润最大化？　　注：利润=售价-