浅析中学数学中的最值问题_论文.doc

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1、.浅谈中学数学中最值的求解学生：张建坤指导老师：阜阳师范学院数学与计算科学系摘要：本文对中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要有：利用三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用数形结合法求最值等。关键词：最值问题；求解；解题方法DiscussthevalueofthesolutioninPrimaryMathematicsStudent：ZhuFangfangInstructor：XuanMinghuiDepartmentofMathematicsandComputationalScience,Hu

2、ainanNormalUniversityAbstract:Thispaperconductedareviewandanalysisonthemethodstoobtainthemaxandminofafunction.Themethodsare:employingtrigonometricfunction,transferringthefunctiontobesolvedtoquadraticfunction,substituting,andemployingthecombinationofnumberandform,etc.Keywords

3、:themaxandminofafunction;solutions;Solutionapproach前言....最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。近年来，高考试题越来越注重对思维能力的考查。其中，最值问题便是一种典型的考查能力的题型。最值问题起源于函数，贯穿于高中数学的各个知识模块中，对最值问题的求解一直以来都是高中数学的重点，难点。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些

4、几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。本文就中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要有：利用三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用数形结合法求最值等。1利用三角函数的性质求最值1.1：利用三角函数的有界性例1、函数的最大值为__________；变式、函数的最大值为____________；小结：对于“一次类型”可利用正弦函数和余弦函数的有界

5、性求三角函数的最值。1.2：利用配方法例2.求函数的最值。解：将函数化为，配方得当当变式1、求函数的最小值；变式2、求函数的最大值；变式3、有实数解，求的取值范围；....小结：型的函数，用角的变换“化二为一”，则问题转化为闭区间上的二次函数的值域问题。1.3化为一个角的三角函数例3：如何求函数的最大值和最小值？解：当，，当，．变式1、函数的最大值为____________；变式2、函数，求的最大值_____；小结：  y=asinx+bcosx型函数的特点是含有正余弦函数。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种形式的三角函数。应

6、用公式：asinx+bcosx=sin(x+φ),（a,b≠0,其中tanφ=）拓展引申：例4求函数的最大值和最小值。分析：表达式含sinx–cosx和sinxcosx，应考虑到其内在关系，考虑用换元法解：设，则，且。由于，故当t=1时，；当时，。小结：这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。是纽带，三者之间知其一，可求其二。....若表达式中出现sinx＋cosx，sinxcosx函数，属与型函数；应考虑到其内在关系,利用换元来求函数最值.1.4：利用数形结合例5.求函数的最值。解：原函数可变形为这可看作点的直线的斜率，而A是单位圆上的动

7、点。由下图可知，过作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，变式求函数的最值。1.5.利用换元法例6.求函数的最值。解：令，则由于，故....变式：求函数的最值。2转化为二次函数求最值二次函数的一般式：，即自变量x的最高次数为2。当题目要求函数的最值时，先观察自变量的最高次数，如果是2，那无外乎就是考虑用图象法还是用代数法。不管是用图象法还是代数法，首先都得把一般式：转换成顶点式：，既而求出最值。对于，如果x没有给出束条件时，则就有：①若，则当时，取得最小值，即；②若，则当时，取得最大值，即。但有时候，题目会约束自变量x的条件，不易求直接求出函数值

8、y的取值范围。常见的题型如下：....例1当x为何值时，下列函数有最大值或最小值。（1）（2）解法一（代数法）：（1）当时，取得最小值，即。（2）当时