中学数学的最值问题[1]

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1、中学数学的最值问题最值问题是历年高考的热点，也是学生学习的难点。对于中学数学的常见最值问题，可归纳为以下几大块：一、用函数的单调性求代数函数的最值（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n],则f（m），与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。（2）求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值时，先判定对称轴x=-是否属于[m,n]，若x=-∈[m,n],则f(m),f(n),f(-中较大者是最大值，较小者是最小值，若-[m,n]，则f(m)与f(n)中较大者为最大值，较小者为

2、最小值；若二次函数f(x)2ax2+bx+c的定义域为R，当a>0时，有最小值ymn=,岂a<0时，有最大值ymax=,例1、求函数y=x2-2x-3在[，]上的最值。解：∵对称轴x=1∈[,]f，而f()=,f(1)=-4,f(∟)=-.∴f(x)max=f(x)min=-4例2、（2004年北京卷）f(x)=ax2+bx+c中，若a、b、c成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最________值（填“大”或“小”）且该值为_______。解：∵f(0)=-4∴c=-4第13页共13页2∵a、b、c成等比数列∴b2=ac=-4a而b≠0则有

3、a<0从而函数f(x)=ax2+bx+c的图象的开口向下，故有最大值，其最大值为：f(x)max===-3.（3）对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性，从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。例3、已知函数f(x)=x∈[1,+∞]当a=时，求函数f(x)的最小值（2004年上海）解：当a=时，f(x)=x++2∵f/(x)=1-∵x∈[1,+∞]∴f/(x)>0∴f(x)在[1，+∞]上是增函数∴f(x)在区间[1，+∞]上的最小值是f(x)min=f(1)=二、有关三角函数最值的求法（1）用三角函数的有界性求最

4、值由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即：-1≤sinx≤1-1≤cosx≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。例4，已知R<-4,则函数cos2x+R(cosx-1)的最小值是（）A、1B、-2C、2R+1D、-2R+1解：∵y=cos2x+R(cosx-1)=2cos2x+Rcosx-R-1第13页共13页=2(cosx+)2-R-1-而R＜-4∴当cosx=1时,ymin=1例5，a、b是不相等的函数，求y=+的最大值和最小值。解：∵y是正值，故使y2达到最大（或最小）的x值也

5、使y达到最大（或最小）。y2=acosx2+bsin2x+2·+asin2x+asin2x+bcos2x=a+b+∵a≠ba>0b>0∴(a-b)2>00≤sin2x≤1∴当sinx=±1,即x=+(k∈z)时ymax=当sinx=0,即x=(k∈z)时，ymin=+(2)利用三角函数的单调性如果f(x)在[α,β]上是增函数，则f(x)在[α，β]上有f(x)max=f(β),f(x)min=f(x),如果f(x)在[α,β]上是减函数，则f(x)在[α,β]上有最大值f(x)，最小值f(β).例6，在0≤x≤的条件下，求y=cos2x-4sin

6、xcosx-3sin2x的最大值和最小值。解：用二倍角公式及变形公式有：y=-2sinx-3=2(cos2x-sinx)-1=2(cos2xcos-sin2xsin)-1=2cos(2x+)-1第13页共13页∵0≤x≤∴≤2x+≤由余弦函数的单调性知：cos(2x+)在[0，]上是减函数，故岂x=0时有最大值，当x=时有最小值-1。cos(2x+)在[，]上是增函数，故当x=时，有最小值-1,当x=时有最大值-。综上当x=0时,ymax=2×-1=1当x=时,ymin=2x(-1)-1=2-1（3）用换元法求三角函数的最值利用变量代换，我们可以把

7、三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解，例7，求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值。解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x=(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx=1+2sinxcosx-sin2xcos2x令t=sinxcosx=sin2x则-≤t≤∴f(

8、t)=1+2t-t2=-(t-t)2+2(-≤t≤)当t=,即x=kπ+(k∈z)时,f(x)max=f(t)max=当t