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1、试论中学数学函数最值问题的求法摘要：关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。关键词：函数的值域,函数的最值，方法。Abstract:concerningthedomainandthemostvaluefuncti
2、onofsapce,isoneofthehighschoolmathematicsteachingdifficulty,isalsoakeypoint.Inthecurrentseniorhighschooltextbooknospecificarrangementsrelatedcontenttointroduce,butinthehighschoolmathematicsteaching,practiceandexercises,andevenhighschoolgraduationwillexamin
3、ationquestion,theuniversityentranceexamquestions,everywherehowevercanencounterswiththemostvalueoffunctiondomainproblem.Therefore,itisnecessaryforustoaskthedomainandthemostvaluefunctionmethodtomakesufficientsummedupandunderstanding.Thispaperisthehighschoolm
4、athematics,attherequestofsomecommonmethodstomakethefollowingsummedupandintroduction.Keywords:functiondomain,themaximumorminimumvalueofthefunction,method引言求函数的函数的最值问题常和求函数的值域紧密相关，函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，
5、在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。12最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。本文现
6、拟对求函数最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。其中，本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法。1.判别式法若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程:。在时,由于为实数,则有,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。例1.1(1987,江苏省初中数学竞赛)已知,其中是实数,则的最大值为______。解:设,由得,是方程的两个实根.整理化简,得,故.即的最大值为2例1.2(
7、1993,全国高中数学联赛)实数满足,设,则的值为_______。12解:由题意知,,故又是方程的两个实根.解得，即2.函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。例2.1求函数的最小值和最大值。解：先求定义域，由得又，故当，且增加时，增大，而减小.于是是随着的增大而减小
8、，即在区间上是减函数，所以,例2.2求函数，的最大值和最小值。解：，令，.当时，有12在上是减函数，因此，，3.均值不等式法均值不等式:设是个正数,则有,其中等号成立的条件是。运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。例3.1（1990,全国高中数学联赛)设为自然数,为实数,且满足,则的最小值是
