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1、LYR(2010-09-23)“最值问题”集锦•平面几何中的最值问题01•几何的定值与最值07•最短路线问题14•对称问题18•巧作“对称点”妙解最值题22•数学最值题的常用解法26•求最值问题29•有理数的一题多解34•4道经典题37•平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例.在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度
2、、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：(1)应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线1的同侧，在直线L上取一点P,使PA+PB最小。所以2R2-x2变式两屋舀轴生直歛的两侧，在直线匸/卵;列分析：在直线L上任取一点P，，连结AP，
3、,BP，,在△ABP'中AP，+BP'>AB,如果AP，+BP'=AB,则P'必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A',则AP'=AP,在AA，BP中A，P，+B，P，>A,B,当P，移到A，B与直线L的交点处P点时A，p，+b，p，=a‘B,所以这时PA+PB最小。1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?'R-^0EB图3-91分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长
4、，可设半圆半径为R.由于AB〃CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.解作DE丄AB于E,则x2=BD2=AB•BE=2R•(R-y)=2R-2Ry,/+2Ib<+2R所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.-x2+2Rx+2R2=3R-(x-R)2^3R2,上式只有当x二R时取等号，这时有2R2-x22R2-R2R厂P所以2y二R二x・所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C,D,这时，梯形的底角恰为60°和120°・2•如图3
5、-92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米（in）,怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？S3-92分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+nx=8,若窗户的最大面积为s,则S=2xy+g%x2・把①代入②有8-7cx-2x1、S=2x•+—22=8x-%x2-2x2+］磁224+x24+兀丿324+兀324+兀上式中，只有x=—时，等号成立.这时，由①有4+兀84+兀即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.3.已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时
6、，PA+PB最大（图3-93）?分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况（P与A重合时）等于AB.因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值.设P为半圆弧中点，连PB,PA,延长AP到C,使PC二PA,连CB,则CB是切线.为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P'，连P‘A,P‘B,延长AP'到C',使P‘Cz二BP'，连C1B,CCf,则ZP‘C‘B=ZPfBC二ZPCB二45°,所以A,B,Cf,C四点共圆，所以ZCCfA二ZCBA二90°,所以在△ACC'
7、中，AC>AC‘，即PA+PB>P‘A+P，B.4如图3-94,在直角厶他。中，AD是斜边上的高，M,N分别是AABD,AACD的内心，直线MN交AB,AC于K,L.求证：Saabc^2SAakl・证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN・因为在AABC中，ZA=90°,AD丄BC于D,所以ZABD二ZDAC,ZADB二ZADC二90°・因为M,N分别是AABD和AACD的内心，所以所以所以Z1=Z2=45°,Z3=Z4,AADN^ABDM,DM_BDDN=AB*又因为ZMDN=90°=ZADB,所以△MDNs^
8、BDA,所以ZBAD二ZMND・由于ZBAD=ZLCD,所以ZMND二ZLCD,所以D,C,L,N四点共圆，所以ZALK二ZNDC二45°・所以AK二AD二AL.而of：乜ABSC,S^=-AD*AL=-AD2,同理，ZAKL二Z1二45°,所以AK二AL.因为AAKM竺AADM,而AC2AB2AD2BC2AC?•皿=AB2+AC2从而*AB・AC，ACAB2+AC2”1
