初中数学竞赛中的组合最值问题

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1、2中等数学初中数学竞赛中的组合最值问题傅钦志(浙江省衢州中等专业学校，324000)中田分类号：0157文献标识码：A文章编号：1005—6416(2013)07—0002一o4(本讲适合初中)(13，14，13×14)．在初中数学竞赛中，经常有一些与组合上述36个数互不相等，且其中最小的数问题相关的整数最值问题，简称组合最值．此为2，最大的数为13×14=182<205．类问题以整数、点、线、圆等离散对象为背景，所以，每一个数组中的三个数不能全部求满足某些约束条件的极大值或极小值．其取出来．解法与一般函数(连续变量)最值的解法有综上，满足题设条件的数的个数不超过着很大的

2、差异。为此，在解题时，要针对具体205—12=】93．问题，细心观察，选用灵活的策略与方法(如2分类讨论构造法、分类讨论、正难则反、极端原理等)．下面举例说明．例2由9名裁判员给参加健美比赛的12名运动员评分．每名裁判员对他认为的第1构造法1名运动员给1分，第2名运动员给2分，例1从1，2，⋯，205共205个正整数⋯⋯第12名运动员给12分．最后评分结果中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的显示：每名运动员所得的九个分数中高、低分数中的任意三个数a、b、C(a

3、⋯≤C12．求C1(2005，(卡西欧杯)全国初中数学竞赛)的最大值．讲解先估算．(2004，江苏省初中数学竞赛(初三))由于14×15=210>205，则14，15，⋯，讲解9名裁判员不可能给某五名或五205满足任意三个数0、b、C(a<6

4、怎样呢?因此，9名裁判员至多给某四名运动员构造如下12个数组：均评为1分．(2，25，2X25)，(3，24，3X24)，⋯，下面分情形讨论．收稿日期：2013—04—10(1)若所有裁判员均给某一名运动员评2013年第7期31分，则c1=9．(2010，北京市中学生数学竞赛(初二))(2)若9名裁判员评出的九个1分集中讲解先估算出k的大致范围，然后分在两名运动员名下，则其中必有一名运动员类讨论．至少被五名裁判员评1分．故由题设，知其余设P为素数．裁判员给该运动员的评分不大于4，从而，若2010能写成k个素数的平方和，则由cl≤5×l+4×4=21．2+3+52+7+11

5、+13+17+19+23+29(3)若裁判员评出的九个1分集中在三=2397>2010．名运动员名下，则这三名运动员各自所得的知k≤9．总分之和不大于(1)当k=9时，若9×l+9×3+9×4=72．2010=p+p+⋯+p；，从而，3cl≤c1+c2+c3≤72．其中，必有一个偶素数的平方，八个奇素数的故cl≤24．平方．(4)若九个1分为四名运动员拥有，则上式左边被8除余2，右边被8除余4，这四名运动员各人所得总分之和等于等式不能成立．9×1+9×2+9×3+9×4=90．(2)当k=8时，若从而，4c1≤90．故e<23．2010=p+p⋯+p；，综上，cl≤24．

6、这八个加项均为奇素数的平方．c，=24的情形是可以实现的，以A(i=上式左边被8除余2，右边被8除余0，l，2，⋯，12)代表运动员，曰，(_『=1，2，⋯，9)代等式不能成立．表裁判员，表1中的数值为裁判员给运动(3)当jc=7时，经试算知员A的评分．2+32+7+11+13+17+37=2010．表1综上，k的最大值等于7．AAAAA，A。AAl0AI1Al23正难则反B1143256791081112l43256791081112例4从1，2，⋯，2004中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三14325679108l112角形边长的三个数(要求互不相等

7、)．试问：B4431527968111012满足条件的k的最小值是多少?B54315279681l1012讲解在1—2004个数中选三个能够B6431527968111012构成三角形边长的个数太多了，不妨从反面B7314259671110812人手，把任选三个不能构成三角形边长的数31452967l110812全部列出来．首先，1、2、3不能构成三角形的边长，再B9314259671110812增加一个5，这样1、2、3、5也是任选三个不合计2424243033666666878787l08能构成三角形的边长．例3能否将20